13 Gradiente e Derivada Direcional

13.1 Gradiente de uma Função de Duas Variáveis:

Interpretação Geométrica

O gradiente de uma função f (x, y) foi introduzido na Seção 11.5; nosso objetivo aqui é interpretá-lo geometricamente. Antes vamos recordar a regra da cadeia: se 2 f ( x , y ) for diferenciável no aberto A ⊂ ℝ , γ (t) diferenciável no intervalo aberto I, em que γ (t) ∈ A para todo t ∈ I, então, h(t) = f (γ (t)) será diferenciável e

 

Seja 1 2 f ( x , y ) de classe C num aberto A ⊂ ℝ e seja (x , y ) um ponto da

0 0

curva de nível f (x, y) = c; suponhamos ▽f (x , y ) ≠ (0, 0). Vamos mostrar a 0 0 seguir que ▽ f (x , y ) é perpendicular em (x , y ) a toda curva γ, 0 0 0 0 diferenciável, passando por (x , y ) e cuja imagem esteja contida na curva de 0 0 nível f (x, y) = c (nas condições acima, pelo teorema das funções implícitas, uma tal curva existe). Seja, então, γ (t), t ∈ I, uma tal curva, com γ (t ) = (x , 0 0 y ); como estamos admitindo que a imagem de γ está contida na curva de nível 0

f (x, y) = c, teremos

 

para todo t no domínio de γ. Derivando os dois membros de em relação a t, obtemos:

 

ou

e, portanto,

 

ou seja, ▽f (x , y ) é perpendicular a γ, em γ (t ) = (x , y ). 0 0 0 0 0

 

Dizemos, então, que ▽f (x , y ) é um vetor normal à curva de nível f (x, y) 0 0

= c, em (x , y ). A reta passando por (x , y ) e perpendicular ▽ f (x , y ) 0 0 0 0 0 0 denomina-se reta tangente, em (x , y ), à curva de nível f (x, y) = c. A 0 0 equação de tal reta é:

 

Exemplo 1

 

A curva γ (t) passa pelo ponto (1, 2) e é tal que f (γ (t)) = 6 para todo t no

domínio de 3 3 γ , em que f ( x , y ) = x y – xy (observe que a imagem de γ

está contida na curva de nível f (x, y) = 6). Suponha

Determine a equação da reta tangente a γ no

ponto (1, 2).

 

Solução

A reta tangente a γ em γ (t ) = (1, 2) coincide com a reta tangente à 0

curva de nível f (x, y) = 6 em (1, 2). Assim, a equação da reta tangente a γ

em (1, 2) é:

 

ou

 

22(x – 1) + 11(y – 2) = 0

 

ou

 

y = –2x + 4.

 

Vejamos como fica, em notação vetorial, a equação desta reta. O vetor (–

11, 22) é perpendicular a ▽f (1, 2) = (22, 11); logo, (–11, 22) é paralelo a

γ′ (t ); assim, a equação da reta tangente acima pode, também, ser dada 0

na forma

 

(x, y) = (1, 2) + λ(–11, 22), λ ∈ ℝ.

 

Exemplo 2

 

Considere a equação a derivadas parciais

 

a) Com argumentos geométricos, obtenha solução de .

b 2 ) Suponha f : ℝ → ℝ diferenciável; prove que se f satisfaz 2 , então

existe φ: ℝ → ℝ diferenciável tal que f (x, y) = φ(2y – x).

 

Solução

a 2 ) Sendo f ( x , y ) solução de , para todo ( x , y ) ∈ ℝ ,

 

ou

 

Como para todo (x, y), ▽ f (x, y) é perpendicular ao vetor (2, 1) e como ▽f (x, y) é perpendicular, em (x, y), à curva de nível de f que passa por este ponto, é razoável esperar que as curvas de nível de f sejam retas paralelas ao vetor (2, 1); assim f deve ser constante sobre cada reta paralela ao vetor (2, 1).

 

Sendo f (x, y) constante sobre a reta r

 

f (x, y) = f (0, m), em que

 

Observação. Consideremos a mudança de variável

Note que quando (x, y) percorre a reta 2y – x = c correspondente ponto (u, v) percorrerá a reta vertical u = c.

 

 

Seja g (u, v) = f (x, y), com x = 2v – u e y = v. Vimos, geometricamente, que f deve ser constante sobre as retas 2y – x = c; é de se esperar, então, que g seja constante sobre as retas u = c, ou seja, que g não dependa de v. Vamos, agora, resolver a parte b).

 

b 2 ) Seja f ( x , y ) diferenciável em ℝ ; supondo f solução de teremos

 

Seja g (u, v) = f (x, y) com x = 2v – u e y = v (veja observação anterior). Temos:

 

ou

Assim, para todo ( 2 u , v ) em ℝ ,

 

o que mostra que g não depende de v, isto é,

 

g (u, v) = φ (u).

 

para alguma função φ : ℝ → ℝ diferenciável. Portanto, f (x, y) = φ(2y – x), em que φ : ℝ → ℝ é uma função diferenciável.

 

Vejamos, agora, como utilizar o gradiente de uma função de duas variáveis

na obtenção da reta tangente e da reta normal ao gráfico de uma função y = g (x) de uma variável. Para isto, consideremos a função de duas variáveis F(x, y) = g (x) – y; evidentemente, o gráfico de g coincide com a curva de nível F(x, y) = 0. Seja (x , y ), com y = g (x ), um ponto do gráfico de g. 0 0 0 0

Segue que ▽F(x , y ) é normal ao gráfico de g em (x , y ). Como 0 0 0 0

 

resulta, ▽F(x , y ) = (g′ (x ), – 1). A equação da reta tangente ao gráfico de 0 0 0

g, no ponto de abscissa x , é, então 0

ou

 

ou, ainda, y – y = g(x )(x – x ). 0 0 0

Por outro lado, a equação da reta normal ao gráfico de g no ponto de

abscissa x é: 0

 

Suponhamos, agora, que a função diferenciável y = g (x) seja dada

implicitamente pela equação F(x, y) = 0, em que F é suposta diferenciável e

com y = g (x ) (observe que a situação anterior é um caso 0 0

particular desta). Segue que, para todo x no domínio de g, F(x, g (x)) = 0, isto é, a imagem da curva γ (x) = (x, g (x)) está contida na curva de nível F(x, y) = 0. Assim, ▽F(x , y ) é normal ao gráfico de g no ponto (x , y ). Poderíamos, 0 0 0 0 também, ter chegado a este resultado, no caso

observando que

 

é o coeficiente angular da direção determinada pelo vetor

(fórmula de derivação implícita) é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de g no ponto (x , y ). 0 0

 

Exemplo 3

 

y = f (x) é uma função diferenciável definida implicitamente pela

equação 3 3 y + xy + y = 3x. Determine as equações das retas tangente e

normal ao gráfico de f no ponto (1, 1).

 

Solução

 

▽F(1, 1) é perpendicular ao gráfico de f no ponto (1, 1). Temos:

 

Reta tangente:

 

ou seja,

 

Reta normal:

 

y – 1 = 4(x – 1) ou y = 4x – 3.

 

Ou, em forma vetorial:

Exercícios 13.1

 

1. É dada uma curva γ que passa pelo ponto γ (t ) = (1, 3) e cuja 0

imagem está contida na curva de nível 2 2 x + y = 10. Suponha

 

a) Determine a equação da reta tangente a γ no ponto

(1, 3).

 

b) Determine uma curva γ (t) satisfazendo as

condições acima.

 

2. Determine a equação da reta tangente à curva γ no ponto γ (t 0 ) =

(2, 5) sabendo-se que e que a sua imagem está contida na

curva de nível xy = 10. Qual a equação da reta normal a γ, neste ponto?

 

3. Determine a equação da reta tangente à curva de nível dada, no

ponto dado.

 

a) 2 2 x + xy + y – 3y = 1 em (1, 2).

 

b) 2x – y e + 2x + 2y = 4 em 4. Determine uma reta que seja tangente à elipse 2 2 2 x + y = 3 e

 

paralela à reta 2x + y = 5.

 

5. 2 2 Determine uma reta que seja tangente à curva x + xy + y = 7 e

paralela à reta 4x + 5y = 17.

 

6. Utilizando argumentos geométricos, determine soluções da

equação a derivadas parciais dada.

7. Determine uma função z = f (x, y) tal que e cujo gráfico

passe pelos pontos (1, 1, 3), (0, 0, 1) e (0, 1, 2).

 

8. Determine uma função z = f (x, y) tal que e cujo gráfico

contenha a imagem da curva

 

9. Determine uma curva γ(t) = (x(t), y(t)) que passe pelo ponto γ (0)

= (1, 2) e que intercepte ortogonalmente as curvas da família 2 x + 2 2 y = c.

 

10. Determine uma função y = y (x) cujo gráfico intercepte

ortogonalmente as curvas da família xy = c, com x > 0 e y > 0, e tal que

a) y (1) = 1

 

b) y (1) = 2

 

11. 2 Seja z = f ( x , y ) diferenciável em ℝ e tal que ▽f (x, y) = g(x, y)(x,

y 2 2 ), para todo ( x , y ) em ℝ , em que g ( x , y ) é uma função de ℝ

em ℝ dada.

 

a) Com argumentos geométricos, verifique que é

razoável esperar que f seja constante sobre cada circunferência de centro na origem.

 

b) Prove que f é constante sobre cada circunferência

de centro na origem.

 

(Sugestão: g (t) = f (R cos t, R sen t) fornece os valores de f sobre a circunferência 2 2 2 x + y = R .)

 

12. Seja y = g (x) definida e derivável no intervalo aberto I, dada

implicitamente pela equação f (x, y) = 0, em que f (x, y) é suposta diferenciável no aberto 2 A ⊂ ℝ . Suponha