Capítulo 5

Capítulo 5 a a Equações Diferenciais Lineares de 1 e 2

Ordens, com Coeficientes Constantes

 

1. Resolva as seguintes equações lineares de primeira ordem:

 

2. Resolva as seguintes equações com as condições iniciais:

3. De acordo com a segunda lei de Newton, a velocidade de um

corpo de massa m em queda livre pode ser descrita pela seguinte equação:

 

em que v é a velocidade do objeto, g, a força da aceleração da gravidade, k, o coeficiente de atrito do ar e t é o tempo decorrido desde o início do lançamento do objeto, que estava com uma velocidade inicial de v . Encontre a equação em 0 função de t que descreve a velocidade do corpo.

4. Considere que uma pessoa de 80 kg salta de paraquedas.

 

Suponha que o coeficiente de atrito do ar antes de o paraquedas abrir é de 1 kg/s, e o coeficiente de atrito após a abertura do paraquedas é k . Sabendo que ele abre o p paraquedas 160 segundos após o salto, e que a aceleração da gravidade é 10 m/s 2 , determine:

 

a) A velocidade que o paraquedista possui no momento em que abre o

paraquedas.

 

b) k de modo que a velocidade com que o paraquedista toque o chão seja p

menor que 2 m/s.

 

5. Suponha que o montante de dinheiro aplicado em um fundo de

investimento que paga juros compostos, denotado por M(t), pode ser modelado por uma equação diferencial da forma

em que t é o tempo em anos, i é a taxa do fundo

de investimento e d é um depósito que realiza todos os anos de forma contínua. Suponha que uma pessoa faça um

investimento inicial de 10.000 reais, e que a taxa anual do fundo de investimento seja de 5 %. Qual o montante que a pessoa teria ao final de 30 anos, se ela realiza depósitos anuais de 3.000 reais?

 

Solução

Resolvendo a equação diferencial, vemos que o montante ao nal de 30 anos é

 

6. Estudos sobre uma epidemia que atinge uma cidade de 40.000

pessoas mostram que a taxa de aumento no número de pessoas infectadas é proporcional ao número presente. Verificase que em 2 horas o número de infectados triplica. Sabendo que a epidemia se iniciou com 10 pessoas, se nenhuma forma de combate à epidemia for encontrada, em quanto tempo toda a população estará infectada?

 

Solução

Temos que a equação diferencial que modela essa situação é dada por que

x(t) é o número de pessoas infectadas em função do tempo em minutos. Resolvendo a equação,

vemos que o tempo até toda a cidade estar infectada é de minutos.

 

7. Resolva as seguintes equações:

8. Resolva as seguintes equações diferenciais com condições

 

iniciais:

9. Podemos modelar o movimento de uma partícula de acordo

com a equação x“ (t) – 2x’(t) – 4x(t) = 0. Sabendo que a partícula parte da origem do sistema de coordenadas, com velocidade inicial de 1 m/s, é possível que em algum instante de tempo essa partícula passe pela parte negativa do eixo x do sistema de coordenadas adotado?

 

Solução

 

Resolvendo a equação diferencial, vemos que portanto essa

 

partícula nunca passa pela parte negativa do eixo x do sistema de coordenadas adotado.

 

10. A posição de um carro em uma rodovia pode ser descrita pela

equação s“(t) + s’(t) – s(t) = 0, em que s é dado em km e t em horas. Considerando o ponto de onde o carro partiu, com velocidade de 10 km/h, como a origem do sistema de coordenadas, e sabendo que o carro encontrou o primeiro radar

para controlar a velocidade, que multa carros acima de 110 km/h, com 1 hora de viagem, diga se o carro foi multado. (Aproxime e por 2,7.)

 

Solução

Resolvendo a equação diferencial, vemos que 2t t s ( t ) = 10 e – 10 e e então s’(1) = v(1) = 118,8

km/h, logo o carro será multado.

 

11. A lei de resfriamento de Newton diz que “a variação de

temperatura de um corpo é proporcional à diferença entre a temperatura do corpo e o meio que o cerca”. Encontre a função que modela a temperatura de um corpo em função do tempo, de acordo com a lei de resfriamento de Newton.

 

Solução

A equação que modela a temperatura T(t) em função do tempo é T(t)’ = k(T(t) – M (t)). Logo,

em que T é a temperatura do corpo no instante t . 0 0

 

12. Determine o inverso, conjugado e módulo dos seguintes

números:

13. Calcule a e b.

14. Resolva as seguintes equações:

 

a) 3 2 x – x + x – 1 = 0;

 

b) 2 z + 16 = 0;

 

c) 4 2 x – 6 x + 4 = 0;

 

Solução

a) As raízes são –i, +i e 1;

b) As raízes são –4i, 4i;

c) As raízes são –2i, –i,i, 2i.

 

15. Resolva a equação.

16. Resolva as equações diferenciais com os valores iniciais

dados.

 

17. Considere uma partícula p cuja posição é dada pela equação 1

x″ + 15x′ + 50x = 0 e uma partícula p cuja posição é dada por 2 x″ + x = 0. Se ambas as partículas possuem a mesma velocidade ao se intersectarem na origem, e que, passados segundos, a partícula 2 andou 2 metros, determine as equações que modelam o deslocamento de ambas as partículas.

18. Considere a equação diferencial x″ 4x = 0. Prove que dados um

par ( 2 a, b ) ∈ ℝ , sempre existe uma solução da equação x(t) da equação, de modo que x(a) = b, e o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da solução em a é 1.

 

Solução

A solução geral da equação tem a forma x(t) = c cos(2t) + c sen(2t), fazendo, x(a) = b, e 1 2

x’(a) = 1, temos x(t) = (–2b cos(2a) – sen(2a)) cos(2t) + (–2b sen(2a) + cos (2a))sen(2t).

 

19. Considere um corpo de massa m > 0 suspenso por uma mola

de massa desprezível e de constante elástica k > 0. Denote por y(t) a posição do corpo no instante t.

 

a) Suponha que a força de atrito devida à

viscosidade do ar é dada por = F = – αv, com v v = y’ sendo a velocidade do corpo e α > 0. Usando a segunda lei de Newton (que diz que a soma das forças que agem sobre um corpo é

igual ao produto da massa do corpo com a aceleração), mostre que a equação diferencial de segunda ordem que determina a posição do corpo em qualquer instante de tempo é dada por

 

em que 2 β = α/m , ω = k/m e g é a aceleração da gravidade.

 

b) Determine a forma geral da solução da equação

(1) nos seguintes casos:

i) 2 2 β > 4 ω

 ii) 2 2 β = 4 ω

iii) 2 2 β < 4 ω

 

Solução

a) Sejam F a força exercida pela mola sobre o centro de massa do corpo, F , a força de m v

atrito exercida pelo ar e F , a força da gravidade. Considerando um sistema de g

coordenadas vertical, com a origem no suporte da mola, temos, pela segunda lei de Newton, que

 

F + F + F = my″ (t) m g v

 

Dividindo ambos os lados por m, segue:

 

y 2 ″ + β y ’ + ω y = g.

Solução

b) Fazendo uma mudança de coordenadas , temos a seguinte E.D.O.

ho mogênea:

 

x 2 ″ β x ’ + ω x = 0

 

O discriminante da E.D.O. é dado por

i) Pela forma da solução geral da E.D.O. quando o

discriminante é positivo, temos:

 

ii) Pela forma da solução geral da E.D.O. quando o

discriminante é nulo, temos:

 

iii) Pela forma da solução geral da E.D.O. quando o

discriminante é negativo, temos:

 

20. n 2t Resolva y – 4 y ’ – 12 y = e