11.4 Diferencial

equação . Mostre que é a

 

equação do plano tangente no ponto (x 0 , y 0 , z 0 ), z 0 ≠ 0.

 

15. Seja z = f(x, y) diferenciável em (x , y ). Seja S a função afim 0 0

dada por S(x, y) = a(x – x ) + b(y – y ) + c. Suponha que 0 0

 

f(x, y) = S(x, y) + E(x, y)

 

com

 

Conclua que .

 

11.4 Diferencial

 

Seja f(x, y) diferenciável em (x , y ) e consideremos a transformação linear 0 0 (transformação é sinônimo de função) dada por

 

Segue, do que vimos anteriormente, que L(h, k) é a única transformação linear de em que aproxima o acréscimo com erro E(h, k) que tende a zero mais rapidamente que || (h, k) ||, quando (h, k) tende a (0, 0). Isto é,

 

Com

 

Pois bem, a transformação linear L, dada por , denomina-se diferencial

de f em (x , y ). 0 0

Seja . Sabemos

que o gráfico de T é o plano tangente ao gráfico de f no ponto (x , y ), f(x , 0 0 0 y )). Fazendo x = x + h e y = y + k, vem: 0 0 0

 

Segue que L(h, k) é a variação que sofre T, quando se passa do ponto (x , 0

y ), ao ponto (x + h, y + k). 0 0 0

Por outro lado, é a variação em f, quando se

passa de (x , y ) a (x + h, y + k). Temos: 0 0 0 0

 

sendo a aproximação tanto melhor quanto menores forem os módulos de h e k.

Muitas vezes, iremos nos referir a como a

 

diferencial de f em (x , y ), relativa aos acréscimos h e k. 0 0

Consideremos agora, a função diferenciável z = f(x, y). Em notação

clássica, a diferencial de f, em (x, y), relativa aos acréscimos dx e dy é indicada por dz (ou por df):

 

No que se segue, iremos nos referir a simplesmente como a diferencial

de z = f(x, y).

O símbolo ∆z será usado para representar a variação em f, quando se passa

de (x, y) a (x + dx, y + dy):

 

Assim,

 

∆z = dz

 

sendo a aproximação tanto melhor quanto menores forem os módulos de dx e dy.

 

Exemplo

Seja 2 z = x y.

a) Calcule a diferencial.

b) Utilizando a diferencial, calcule um valor aproximado para a variação

∆z em z, quando se passa de x = 1 e y = 2 para x = 1,02 e y = 2,01.

c) Calcule o erro cometido na aproximação acima.

 

Solução

a) 2 ; assim, dz = 2 xy dx + x dy.

 

b 2 ) ∆ z = dz ou ∆ z = 2 xy dx + x dy.

Fazendo x = 1, y = 2, dx = 0,02 e dy = 0,01 resulta ∆z = 0,09. b) Calcule um valor aproximado para z,

c 2 2 2 ) ∆ z = ( x + dx ) ( y + dy ) – x y = (1,02) (1,01) – 2 = 0,091204 (valor

exato).

O erro cometido na avaliação acima é 0,001204.

 

Exercícios 11.4

 

1. Calcule a diferencial.

 

a 3 2 ) z = x y

 

b) z = x arctg (x + 2y)

 

c) z = sen xy

 

d 2 2 ) s – t u = e

 

e 2 2 ) T = ln(1 + p + V )

 

f) x = arcsen uv

 

2. 2 2 Seja z = x e

x –y

 

a) Calcule um valor aproximado para a variação ∆ z

em z, quando se passa de x = 1 e y = 1 para x = 1,01 e y = 1,002.

correspondente a x = 1,01 e y = 1,002.

 

3. Seja .

 

a) Calcule a diferencial de z no ponto (1, 8).

 

b) Calcule um valor aproximado para z,

correspondente a x = 1,01 e y = 7,9.

 

c) Calcule um valor aproximado para a variação ∆ z

em z, quando se passa de x = 1 e y = 8 para x = 0,9 e y = 8,01.

 

4. Calcule um valor aproximado para a variação ∆ A na área de um

retângulo quando os lados variam de x = 2 m e y = 3 m para x =

 

2,01 m e y = 2,97 m.

5. Uma caixa de forma cilíndrica é feita com um material de

espessura 0,03 m. As medidas internas são: altura 2 m e raio da base 1 m. A caixa é sem tampa. Calcule um valor aproximado para o volume do material utilizado na caixa.

 

6. A energia consumida em um resistor elétrico é dada por

watts. Se V = 100 volts e R = 10 ohms, calcule um valor aproximado para a variação ∆P em P, quando V decresce 0,2 volt e R aumenta de 0,01 ohm.

 

7. A altura de um cone é h = 20 cm e o raio da base r = 12 cm.

Calcule um valor aproximado para a variação ∆V no volume quando h aumenta 2 mm e r decresce 1 mm.

 

8. 2,03 Calcule aproximadamente (1,01) .

 

9. Um dos catetos de um triângulo retângulo é x = 3 cm e o outro, y

= 4 cm. Calcule um valor aproximado para a variação ∆ z na