1 Funções Integráveis

O objetivo deste capítulo é destacar as funções integráveis que vão interessar ao curso. Este capítulo poderá ser omitido pelo leitor que já tenha estudado o Apêndice D do Vol. 1.

 

1.1 Alguns Exemplos de Funções Integráveis e de

Funções Não Integráveis

Nesta seção, apresentaremos alguns exemplos de funções integráveis e de funções não integráveis, trabalhando diretamente com a definição de integral de Riemann.

Antes de começar a estudar os exemplos que apresentaremos a seguir,

sugerimos ao leitor rever a definição de integral de Riemann apresentada na Seção 11.3 do Vol. 1.

 

Exemplo 1

Prove, pela definição, que a função constante f (x) = k, x ∈ [a, b], é

integrável em [a, b] e que

 

Solução

Para toda partição P: a = x < x < x < … < x < x < … < x = b 0 1 2 i – 1 i n

de [a, b] tem-se, independentemente da escolha de c em [x , x ], i i i – 1 i

variando de 1 a n,

 

Segue que dado ε > 0 e tomando-se um δ > 0 qualquer tem-se,

independentemente da escolha dos c , i

 

para toda partição de [a, b], com máx Δx < δ. Logo, i

 

ou seja, f é integrável em [a, b] e

 

Antes de passarmos ao próximo exemplo faremos a seguinte observação.

 

Observação. De acordo com a de nição de integral, sendo f integrável em [a, b], dado ε > 0

existirá δ > 0 que só depende de ε, mas não da escolha dos c , tal que i

para toda partição P de [a, b], com máx Δx < δ. Segue que se P for uma i partição de [a, b], com máx Δx < δ, e se c e (i = 1, 2, …, n) forem i i escolhidos arbitrariamente em [x , x ], teremos i – 1 i

 

 

e

 

e, portanto,

 

para toda partição P de [a, b], com máx Δx < δ independentemente da escolha i de c e . Deste modo, se f for integrável em [a, b], duas somas de Riemann i

quaisquer relativas a uma mesma partição P, com máx Δx suficientemente i pequeno, devem diferir muito pouco uma da outra, e o módulo da diferença entre elas deverá ser tanto menor quanto menor for máx Δx . i

 

Exemplo 2

 

(Exemplo de função não integrável.) Prove que

não é integrável em [0, 1].

 

Solução

Seja P: 0 = x < x < x < … < x < x < … < x = 1 uma partição 0 1 2 i – 1 i n

qualquer de [0, 1]. Se c , c , …, c forem racionais 1 2 n

 

Se forem irracionais

 

De e e da observação anterior segue que f não é integrável em [0,

1].

 

Exemplo 3

 

Seja f :[0, 2] → ℝ dada por

 

Prove que f é integrável em [0, 2] e que

 

Solução

Seja P uma partição qualquer de [0, 2] e suponhamos que 1 ∈ [x , j –1

x ]. j

Se 1 ∈ ]x , x [, j –1 j

 

Fica a seu cargo concluir que, em qualquer caso

 

independentemente da escolha dos c . Portanto, i

 

Observe que a função do exemplo anterior não é contínua em [0, 2],

entretanto, é integrável em [0, 2].

 

Exemplo 4

 

Seja

 

Prove que f é integrável em [0, 2] e que

 

Solução

Consideremos a partição 0 = x < x < … < x < x < … < x = 2 e 0 1 j – 1 j n

suponhamos que 1 ∈ [x , x ]. j –1 j

Temos:

 

Segue que

 

(Interprete geometricamente.) Logo,

 

independentemente da escolha dos c . Portanto, i

 

Exemplo 5

 

Prove que

não é integrável em [0, 1].

 

Solução

Seja P uma partição qualquer de [0, 1] e uma soma de

 

Riemann de f relativa a esta partição. Tomemos c em ]0, x [. Se 1 1

mantivermos fixos c , c , …, c , teremos 2 3 n

 

Logo, não existe número L tal que

 

ou seja, f não é integrável em [0, 1].

 

Observe que a função do exemplo anterior não é limitada em [0, 1].

(Lembramos que f limitada em [a, b] significa que existem reais α e β tais que, para todo

O próximo teorema, cuja demonstração encontra-se no Apêndice D do Vol.

1, conta-nos que uma condição necessária para f ser integrável em [a, b] é que f seja limitada neste intervalo. Tal condição não é suficiente, pois,

 

é limitada em [0, 1], mas não é integrável neste intervalo.

Teorema. Se f for integrável em [a, b], então f será limitada em [a, b].

 

Exercícios 1.1

 

1. Seja f :[0, 1] → ℝ dada por

 

Prove que f é integrável em [0, 1] e que

 

2. Seja f :[0, 1] → ℝ dada por

 

a) Verifique que se os c forem racionais i

 

tende a , quando máx Δx → 0. i

 

b) Prove que f não é integrável em [0, 1].

 

3. Calcule, caso exista, e justifique sua resposta.