11.2 Uma Condição Suficiente para Diferenciabilidade

 

Nosso objetivo, nesta seção, é demonstrar que a continuidade em A, A aberto, das derivadas parciais de uma função f garante a diferenciabilidade desta função em todos os pontos de A. Este resultado é bastante importante, pois, em muitas ocasiões, é mais fácil verificar a continuidade das derivadas parciais do que a diferenciabilidade diretamente pela definição.

 

Teorema. Sejam aberto, e (x 0 , y 0 ) ε A. Se as derivadas parciais

existirem em A e forem contínuas no ponto (x 0 , y 0 ), então f será diferenciável neste ponto.

 

Demonstração

 

Como A é aberto, existe uma bola aberta B de centro (x , y ), contida em A. 0 0 Sejam h e k tais que (x + h, y + k) ε B. Temos 0 0

Fazendo G(x) = f(x, y + k), pelo TVM existe x, entre x e x + h tal que 0 0 0

 

Do mesmo modo, existe y entre y e y + k tal que 0 0

 

Assim,

 

Subtraindo a ambos os membros da igualdade acima

obtemos:

Segue que

 

Pela continuidade de em (x , y ), as expressões (III) e (IV) tendem a 0 0 zero, quando (h, k) → (0, 0), e, portanto,

 

logo, f é diferenciável em (x , y ). 0 0

Seja 1 f ( x , y ) uma função. Dizemos que f é de classe C no aberto A se

forem contínuas em A.

Segue do teorema anterior o seguinte

Corolário. 1 Seja , A aberto. Se f for de classe C em A, então f será diferen

ciável em A.

 

Exemplo 1

 

f 2 2 ( x, y ) = sen( x + y ) é diferenciável em , pois,

 

são contínuas em .

 

Observação. O teorema anterior conta-nos que se f admite derivadas parciais em A e se estas são

contínuas no ponto (x , y ), então f será diferenciável em (x , y ). A recíproca, entretanto, não é 0 0 0 0

verdadeira: existem funções que são diferenciáveis em um ponto sem que as derivadas parciais sejam

contínuas neste ponto. O exemplo seguinte exibe-nos uma tal função.

 

Exemplo 2

 

Seja

 

a) Determine .

 

b) Mostre que não são contínuas em (0, 0).

 

c) Prove que f é diferenciável em (0, 0).

d) Prove que f é uma função diferenciável.

 

Solução

 

e

 

b) não existe. (Verifique.) Logo, não é contínua em (0,

0).

De modo análogo, verifica-se que não é contínua em (0, 0).

Como resulta que f é diferenciável em (0, 0).

 

d) f é diferenciável em todo (x, y) ≠ (0, 0), pois,

 

são contínuas em todo (x, y) ≠ (0,

 

0).

 

Conclusão. f é uma função diferenciável em todo (x, y) ε D (D = ). f f

 

Exemplo 3

 

Verifique que é uma função

 

diferenciável.

 

Solução

e

 

Vamos mostrar que são contínuas em , são

contínuas em todo (x, y) ≠ (0, 0), pois são quocientes de contínuas.

Em (0, 0),

 

ou seja,

 

logo, é contínua em (0, 0). De modo análogo, prova-se que é

contínua em (0, 0).

Da continuidade de em , segue que f é diferenciável em

.

 

Observação. Para todo (x, y) ≠ (0, 0), temos:

e

 

Exercícios 11.2

 

1. Verifique que a função dada é diferenciável.

 

2. Determine o conjunto dos pontos em que a função dada é

diferenciável. Justifique.