Capítulo 4

Capítulo 4 Aplicações à Estatística

 

1. Diga se é possível encontrar a ∈ ℝ para que as funções abaixo sejam

funções de densidade de probabilidade.

 

Solução

a) Não é possível.

 

b) , note que o valor não é solução, pois isso faria

com que g não fosse definida em toda reta.

 

c)

 

2. A posição de uma partícula pode ser modelada por uma variável

aleatória X m. A função de densidade de probabilidade f(x) = 6x(1 − x), e 0 ≤ x ≤ 1, e 0 caso contrário. Diga qual a probabilidade de essa partícula ser encontrada entre a posição . Diga qual a

 

probabilidade de a partícula estar exatamente na posição .

 

Solução

. A probabilidade de a partícula estar exatamente na

 

posição é 0.

 

3. Seja

 

Determine α de modo que f seja uma função de densidade de probabilidade.

 

Solução

Temos que

 

4. Suponha que o tempo que uma pessoa gasta em um

determinado site pode ser modelado por uma variável aleatória, cuja função de densidade de probabilidade é dada por:

 

Calcule:

 

a) A probabilidade de uma pessoa passar até 1 minuto no site.

 

b) A probabilidade de uma pessoa passar mais de 1 minuto e meio no site.

Solução

 

5. A função de distribuição de uma variável aleatória é dada por:

 

Determine a função de densidade de probabilidade dessa variável aleatória e a probabilidade de x ser maior que 3.

 

Solução

A função de densidade de probabilidade dessa variável aleatória é dada por f abaixo.

 

E temos que a probabilidade de –15 x ser maior que 3 é e .

 

6. Determine a função de distribuição da variável aleatória X,

com sua função de densidade de probabilidade dada pelas funções abaixo.

Solução

 

7. Seja X uma variável aleatória cuja função de distribuição é

dada por

 

Determine a probabilidade de o valor da variável aleatória ser maior que

 

Solução 8. O número de pessoas infectadas por uma doença pode ser

modelado por uma variável aleatória que tem a seguinte função de densidade de probabilidade:

 

infectadas. Calcule o valor esperado para o número de pessoas infectadas, e também o desviopadrão da variável aleatória.

 

Solução

Calculando o valor esperado da variável aleatória vemos que são esperadas 1500 pessoas

infectadas. O desvio-padrão da variável aleatória é

 

9. Considere a função f a seguir.

Determine α de modo que f

 

seja uma função de densidade de probabilidade de uma variável aleatória e calcule seu valor esperado.

 

Solução

Para que f seja uma função de densidade de probabilidade Seu valor esperado é 0.

O tempo de vida útil de um componente eletrônico do celular

10.

da marca γ é modelado por uma variável aleatória com função de densidade de probabilidade dada por:

 

valor esperado para o tempo de duração desse componente?

 

Solução

Calculando o valor esperado da variável aleatória vemos que o tempo esperado de duração

desse componente é

 

11. N(0,1) Seja X uma variável aleatória tal que X = e . Calcule a

função de distribuição da variá vel aleatória X.

 

Solução

 

12. Seja F (x) a função de distribuição de uma variável aleatória x

contínua X para x ∊ ℝ. Prove que a função de densidade da

variável aleatória X, denotada por f (x), é dada por X (Dica: Cuidado com os limites de integração.)

 

Solução

Como como a integral da esquerda

existe pois f é função de densidade, usando o teorema fundamental do cálculo temos o X

resultado.

 

13. Seja X uma variável aleatória contínua, com função de

densidade de probabilidade denotada por f e g: ℝ → ℝ uma função derivável e estritamente crescente. Seja Y = g(X). Prove que a função de densidade de probabilidade de Y denotada por

h é dada por se x estiver na imagem de g ou

 

h(x) = 0 caso contrário. Prove que, se g for estritamente

decrescente, então se x estiver na imagem de

 

g, ou h(x) = 0 caso contrário.

 

Solução

Sejam - F a função de distribuição de X e H a função de distribuição de Y . Note que F ( x ) = H ( g

1 (x)). Veja que Note que, se g for decrescente, então g’(x) < 0 e

F –1 ( x ) = 1 – H ( g (x)).

Seja X uma variável aleatória cuja função de densidade de

14.

probabilidade é dada pela seguinte fórmula:

Encontre a função de

 

densidade de probabilidade de .

 

Solução

A função de densidade de probabilidade de Y é dada por

 

15. Podemos garantir a convergência de certas integrais impróprias

com o auxílio da função gama. Mostre que a integral

converge.

 

Solução

 

Veja que

 

16. Diremos que uma variável aleatória tem distribuição

exponencial com parâmetro λ > 0, se sua função de densidade

de probabilidade for dada por:

 

Determine o valor esperado, a variância e a função de

distribuição de uma variável aleatória exponencial de parâmetro λ.

 

17. Seja X uma variável aleatória tal que X = ln(1 –(N (0,1)), em

que N(0,1) é a distribuição normal padrão. Prove que X é uma distribuição exponencial com parâmetro 1.

 

Solução

Seja –x F a função de distribuição de X . Note que F ( x ) = 1 – e , donde o resultado segue.

 

18. Considere uma variável aleatória com distribuição uniforme,

com parâmetros a, b ∈ ℝ, com a < b, ou seja, a função de densidade de probabilidade de X é dada por:

 

Calcule o valor esperado e a variância de X.

19. Suponha, o tempo que uma pessoa espera um ônibus em um

 

ponto uniformemente distribuído de 0 a 30 minutos. Qual o tempo médio de espera para uma pessoa? Qual a probabilidade de que a pessoa espere menos de 5 minutos?

 

Solução

De na a variável aleatória X que conta o número de minutos que uma pessoa espera no ponto,

precisamente P(X ≤ t) = probabilidade de uma pessoa esperar menos de t minutos no ponto.

Por hipótese, X tem distribuição uniforme U (0,30). Logo, E (X) = 15, logo o tempo médio de

espera é 15 minutos. E, por m,

 

20. Cândida demora entre 30 e 40 minutos para sair de sua casa e

chegar ao trabalho. Suponha que o tempo que ela gasta pode ser modelado por uma variável aleatória uniforme, e que hoje ela saiu de casa às 7:13 da manhã e deve estar no trabalho às 7:45. Qual a probabilidade de ela não chegar atrasada no trabalho?

 

Solução

A probabilidade de Cândida não chegar atrasada é