5.4 Solução Geral da Equação Homogênea no Caso em que as Raízes da Equação Característica São Números Complexos

c) (o conjugado de uma soma é igual à

soma dos conjugados)

 

5.4 Solução Geral da Equação Homogênea no Caso

em que as Raízes da Equação Característica São Números Complexos

 

Vamos estudar inicialmente a equação

 

em que 2 2 ω = 0 é um real dado. A equação característica de é γ + ω =

0, cujas raízes são os números complexos ωi e –ωi; deste modo, o que aprendemos na Seção 4.2 não se aplica (no Apêndice A veremos como dar um tratamento único à equação homogênea quer as

raízes da equação característica sejam reais ou complexas).

Observamos que uma função x = x(t), t ∈ ℝ, será solução de se e

somente se, para todo t,

 

Como as funções sen ωt e cos ωt satisfazem , segue que x = sen ωt e x = cos ωt são soluções de . Deixamos a cargo do leitor verificar que,

quaisquer que sejam os reais A e B,

 

será, também, solução de . Nosso objetivo a seguir é provar que x = x(t), t ∈ ℝ, será solução de se e somente se for da forma .

Para atingir nosso objetivo, vamos provar primeiro que se x = x(t), t ∈

ℝ, for solução de então existirá uma constante k tal que, para todo t,

(Esta relação nos diz que, se o movimento de uma partícula na reta for regido pela equação , então a soma da energia cinética com a

 

 

energia potencial mantém-se constante durante o movimento.)

 

De fato, sendo x = x (t) solução de , para todo t, tem-se

 

Daí, para todo t,

 

Logo, é constante.

Suponhamos, agora, que x = x(t), t ∈ ℝ seja uma solução qualquer de

. Façamos a = x (0) e b = x′(0). A função f dada por 0 0

é solução de e, além disso, f (0) = a e f ′0) = 0

b . Sendo f (t) e x (t) soluções de , f (t) – x (t) também será. Pelo que 0

vimos acima, existirá uma constante k tal que, para todo t,

 

De f (0) = x (0) e f ′(0) = x′(0) resulta k = 0. Assim, para todo t, e, portanto, x (t) = f (t), ou seja,

 

em que Fica provado assim que x = x(t), t ∈ ℝ, será

solução de se e somente se for da forma .

 

A solução geral de

 

em que ω = 0 é um real dado, é

 

Exemplo 1

 

Resolva a equação

 

Solução

As raízes da equação característica

 

λ 2 + 4 = 0

 

são 2i e –2i. A solução geral é

As notações (devidas a Newton) são frequentemente usadas,

em física, para indicar, respectivamente, as derivadas de 1 a a e 2

ordens de x em relação ao tempo Nos próximos

exemplos utilizaremos tais notações.

 

Exemplo 2

 

O movimento de uma partícula sobre o eixo x é regido pela equação

 

em que m > 0 e k > 0 são constantes reais dadas. Descreva o

movimento.

 

Solução

A equação é equivalente a

 

em que A solução geral é

 

Tomando-se φ tal que

resulta

 

 

ou seja,

 

Trata-se, então, de um movimento harmônico simples de amplitude

.

 

Observação: Dizemos que uma partícula que se desloca sobre o eixo x descreve um

movimento harmônico simples (MHS) se a equação horária for do tipo x = acos(ωt + φ ). Os 0

números a, ω e φ denominam-se, respectivamente, amplitude, pulsação e fase inicial do 0

movimento.

 

Vejamos, agora, qual é a solução geral de no caso em que as raízes da equação característica são números complexos. Se as raízes da equação característica fossem reais e distintas,

a solução geral seria, como já vimos,

 

ou

 

Provaremos a seguir que se as raízes da equação característica forem números complexos (Δ < 0) a solução geral será

 

Teorema. Seja a equação (b e c reais dados)

 

e suponha que as raízes da equação característica 2 λ + bλ + c = 0 sejam complexas

 

Então a solução geral de será

Demonstração

Sejam f e g definidas em R e tais que, para todo t,

 

Vamos mostrar que f será solução de se e somente se g for solução de

 

De fato, se f for solução de teremos, para todo t,

 

ou

 

Como

 

e

substituindo em e simplificando resulta

 

 

Como Δ = 2 b – 4ac, segue que

 

e, portanto, g é solução de . Deixamos a seu cargo verificar se g for solução de , então f será solução de . Sendo g solução de

 

em que Segue, então, que

 

e fazendo resulta

 

Exemplo 3

 

Considere a equação

a) Ache a solução geral.

 

b) Esboce o gráfico da solução que satisfaz as condições iniciais

 

Solução

 

A solução geral é

 

Assim, –y x = Be sen t. Segue

 

Daí logo, B = 1. A solução que satisfaz as condições iniciais dadas é

A seguir, vamos destacar, em um quadro, os resultados obtidos nesta seção e na 5.2.

 

Seja a equação

 

e sejam λ , λ as raízes da equação característica. 1 2

(I) Se λ ≠ λ , λ e λ reais, a solução geral será 1 2 1 2

 

(II) Se λ = λ a solução geral será 1 2

 

(III) Se as raízes da equação característica forem complexas, λ = α ± βi, a solução geral será

Exemplo 4

 

 

Uma partícula de massa m desloca-se sobre o eixo x sob a ação de uma força elástica –kxi(k > 0) e de uma força de amortecimento proporcional à velocidade e dada por Determine a

equação que rege o movimento e discuta as soluções.

 

Solução

Pela lei de Newton

 

ou seja,

 

que é a equação que rege o movimento. Esta equação é equivalente a

 

em que As raízes da equação característica são:

 

1 o caso. Movimento oscilatório amortecido ou subcrítico ( 2 2 γ < ω ).

Sendo 2 2 γ < ω , as raízes da equação característica serão complexas,

em que A solução geral de será

e, portanto,

 

em que e φ é tal que A = K cos φ e B = K sen φ.

 

2 o 2 2 caso. Amortecimento crítico ( γ = ω )

Neste caso, a equação característica admitirá uma única raiz real λ = –

γ. A solução geral será

 

ou seja,

 

3 o 2 2 caso. Amortecimento forte ou supercrítico ( γ > ω )

Sendo 2 2 γ > ω as raízes da equação característica serão reais e

distintas, λ = –γ ± Ω em que A solução geral será

 

A figura a seguir mostra o gráfico da solução que satisfaz as

condições iniciais x (0) = x (x > 0) e 0 0

Note que, nos casos 2 e 3, o amortecimento é suficientemente grande de modo a não permitir oscilação da partícula em torno da posição de equilíbrio (x = 0).

 

 

Exercícios 5.4

 

1. Resolva a equação.

2. Determine a solução do problema.

 

3. Uma partícula de massa m = 1 desloca-se sobre o eixo x sob a

ação da força elástica Supondo determine a velocidade no instante t.

 

4. Uma partícula de massa m = 1 desloca-se sobre o eixo x sob a

ação de uma força elástica e de uma força de

amortecimento proporcional à velocidade dada por stica .

Determine a equação horária do movimento supondo x(0) = 0 e

 

5. f é uma função definida em ℝ tal que sua derivada segunda é

igual à diferença entre sua derivada primeira e ela própria.