Respostas, Sugestões ou Soluções

Abaixo as respostas da maioria dos exercícios numerados.

 

CAPÍTULO 1

 

1.2 a) Sim, pois, é contínua.

b) Sim, pois, é contínua.

c) Sim, pois, é limitada e descontínua apenas em x = 1. d) Sim, pois, é contínua em [0, 1]. e) Sim, pois, é limitada e descontínua apenas em x = 0. f) Não, pois, não é limitada em

g) Sim, pois, é limitada e descontínua apenas em x = 0. h) Não, pois, não é limitada em [–1, 1].

CAPÍTULO 2

CAPÍTULO 3

3.4 1. a) converge

b) diverge

c) converge

d) converge

e) converge

f) converge

g) converge

h) converge

i) converge

j) converge

l) converge

m) converge

3. a) diverge

b) converge

c) converge

d) diverge

CAPÍTULO 4

 

CAPÍTULO 5

CAPÍTULO 6

6.5 1. a) É aberto

b) Não é aberto

c) É aberto (conjunto vazio) d) Não é aberto

e) É aberto (conjunto vazio) f) É aberto

g) É aberto

e) Não é aberto

2. 2 2 2 a ) {( x , y ) ∈ ℝ | x + y ≤ 1|}

b) ϕ

c) {(0,1)}

d 2 ) {( x , y ) ∈ ℝ |x+y ≥ 1|}

e 2 ) {( x , y ) ∈ ℝ |x=1, 1 + y ≤ y ≤ 2|} f 2 ) ℝ

7. a) É fechado

b) Não é fechado

c) É fechado

d) Não é fechado

e) É fechado

f) É fechado

g) É fechado

h) É fechado

 

CAPÍTULO 7

CAPÍTULO 8

4. f(x, y)=ax+by, em que a e b devem ser determinados de modo que

f(1, 0) = 2 e f(0, 1) = 3. Tem-se a = 2 e b = 3. Assim:

f(x,y)=2x+3y.

5. a) homogênea de grau zero.

b) homogênea de grau 2. c) não é homogênea.

d) homogênea de grau –2.

d) As curvas de nível são circunferências com centros na

origem.

 

e) As curvas de nível são retas paralelas a x + y = 0.

f 2 2 2 ) As curvas de nível são as circunferências x + y =1 – c ,

 

com 0 ≤ c ≤ 1. O gráfico de g é a parte da superfície esférica 2 2 2 x + y + z =1, correspondente a z ≥ 0.

 

i 2 2 2 ) As curvas de nível são as circunferências x + y = c , c≥0.

j) y = x é a curva de nível correspondente a c = 0. Para c > 0,

 

a curva de nível é o par de retas

 

l 2 2 2 ) As curvas de nível são as elipses x +4 y =1– c (0≤c≤1).

 

m) As curvas de nível são as circunferências

n) As curvas de nível são as circunferências

 

 

o) As curvas de nível são retas x=c(c ≥ 0).

4. a) f(1, 1) = 3 é o valor mínimo de f. Não admite valor máximo.

b) Não admite valor máximo, nem mínimo. c) Zero é o valor mínimo de f; este valor é atingido nos pontos (x, 0),

x ≥ 0, ou (0, y), y ≥ 0. Não há valor máximo.

d) Valor máximo: 1; este valor é atingido nos pontos (x, 0), x ≠ 0. O

valor mínimo é zero, que é atingido nos pontos (0, y), y ≠ 0.

CAPÍTULO 9

 

9.1 1. a) 0

b) Não existe

c) 0

d) Não existe

e) Não existe

f) Não existe

g) Não existe

h) Não existe

4.) o

5.) Não existe.

CAPÍTULO 10

c) (x,y,z)=(1, 1, 2)+λ(1, 1, 4), λ∈ℝ.

d) Verifique que (1, 1, 2) pertence ao plano e que γ′(1) é

ortogonal ao vetor

CAPÍTULO 11

2. a) f não é contínua em (0, 0), logo, não é diferenciável neste

ponto. Em 2 ℝ – {(0, 0)} as derivadas parciais são contínuas, logo f é diferenciável em todos os pontos deste conjunto. Assim, 2 ℝ – {(0, 0)} é o conjunto dos pontos em que f é diferenciável.

b 2 ) Em ℝ – {(0, 0)} as derivadas parciais são contínuas,

logo f é diferenciável em todos os pontos deste conjunto. Em (0, 0),

CAPÍTULO 12

ou seja,

 

12.2 3 3 1 2 1. Seja F ( x , y ) = y + xy + x – 4; F é de classe C em ℝ ,

. Pelo teorema das funções

implícitas, a equação define uma função 1 y = y ( x ) de classe C

num intervalo aberto I contendo 0. .

Seja 2 F ( x , y ) = x y + sen y – x: observe que F (0, 0) = 0 e

2. a) que

 

3. x+y+z a) Seja F (x, y, z) = e + xyz − 1; note que

 

11. a) 2(x – y)

b) 2 –2 x y

c –2[s + 3r]

d 2t[–9 + 2s]

CAPÍTULO 13

 

13.1 1. a) (x, y) = (1,3) + λ(−6, 2), λ ∈ ℝ

 

2. Reta tangente: (x, y) = (2, 5) + λ(−2, 5), λ ∈ ℝ.

Reta tangente: (x, y) = (2, 5) + λ(5, 2), λ ∈ ℝ.

3. a) (4, 2) [(x, y)−(1, 2)] = 0 ou y − 2 = −2(x − 1).

b) y = −4x + 3.

4. y = –2x + 3 ou y = –2x – 3

 

6. a) f(x, y) = φ(2x − 3y) em que φ(u) é uma função derivável

qualquer.

b) f(x, y) = φ(x + y) em que φ(u) é uma função derivável

qualquer.

c) f(x, y) = φ(x − y) em que φ(u) é uma função derivável

qualquer.

d) 2 2 f ( x , y ) = φ ( x − y ) em que φ(u) é uma função derivável

qualquer.

7. f(x, y) = φ(x + y), com φ(u) definida e derivável em ℝ, satisfaz

a condição . Determine uma ϕ (u) tal que ϕ(2) = 3, ϕ(0)

= 1 e 2 ϕ (1) = 2. Por exemplo, tome φ ( u ) = au + bu + c e determine a, b e c para que as condições acima se cumpram.

8. f(x, y) = φ(2x + y), com φ(u) definida e derivável em ℝ, satisfaz

a condição . Para que o gráfico de f contenha a

imagem de 2 γ é preciso que φ (3 t ) = t . Basta então tomar

. A função 2 f ( x , y ) = (2 x + y ) resolve o problema.

 

9. 2 2 Seja F ( x , y ) = x + 2 y . Vamos determinar γ de modo que,

para todo t, γ′(t) = ΔF(γ(t)), ou seja, = 2x e = 4y. Assim, x = k 2t 4t e e y = k e . Para que a condição inicial γ(0) = (1, 2) se

1 2

verifique devemos tomar 2t 4t k = 1 e k = 2; γ ( t ) = ( e , 2 e )

1 2

intercepta ortogonalmente todas as curvas da família 2 2 x + 2 y

= c e passa por (1, 2).

 

10. Seja F(x, y) = xy. A função y = y(x) deve ser solução da

 

equação 2 2 , ou seja, . Assim, y = x + c.

 

a) y = x 13.2 1. a) Plano tangente: (2, −6, 8)·[(x, y, z)−(1, −1, 1)] = 0 ou x

−3y + 4z = 8.

Reta normal: (x, y, z) = (1, −1, 1) + λ(2, −6, 8), λ ∈ ℝ.

b) Plano tangente: 6x +3y + z = 9.

 

c) Plano tangente: x − y + 4z = 4.

Reta normal: (x, y, z) = (2, 2, 1) + λ(1, −1, 4), λ ∈ ℝ.

 

( 2 2 2 Sugestão. Seja F ( x , y , z ) = x + 3 y + 2 z . O ponto de tangência (x , y , z ) deve satisfazer as condições: 0 0 0

e ΔF(x , y , z ) = λ(1, 1, 1), para algum 0 0 0

λ.)

4. x + y + = 2.

5. (x, y, z) = (1, 1, 1) + λ(−2, 1, 1), λ ∈ ℝ. 6. a) (x, y, z) = (1, 1, 1) + λ(−1, −1, 0), λ ∈ ℝ.

 

7. a) (x, y, z) = (0, 1, 0) + λ(−1, 0, 1), λ ∈ ℝ.

 

8. 2 2 4 4 a) F ( x , y , z ) = x + y − y z + 8.

b) x − 7y − 16z = −28.

9. −5x + 16y − 9z = 0.

10. x − 2y + 2z = 7 ou x + 2y + 2z = 7.

6. a) (1, 3)

 

b) 2

7. −4t −2t x = e e y = 2 e , t ≥ 0.

 

9. Δf(1, 2) = (2, 1). Seja γ(t) = (1 + 2t, 2 + t, f(1 + 2t, 2 + t)). A

tangente em γ(0) = (1, 2, f(1, 2)) é a reta procurada: (x, y, z) = (1, 2, 2) + λ(2, 1, 5), λ ∈ ℝ.

10. (x, y, z) = (1,1,4) + λ(1, 2, 5). 11. Seja P′ a projeção de P sobre o plano xy, P′ move-se sempre na

direção e sentido de máximo crescimento de f. Sendo (x (t), y (t)), uma parametrização para a trajetória de P′. γ(t) = (x(t), y(t), z(t)), em que z(t) = f(x(t), y(t)), será uma parametrização para a trajetória de 4 8 2 P : γ ( t ) = ( t , t , 4 t + t ).

12. (0. ).

(Sugestão. Aproveite a solução do problema 8.)

13. 4 2 8 γ ( t ) = ( t , t , 5 − t −4 t ), 0 ≤ t ≤ 1.

CAPÍTULO 14

 

10. b) f(x, t) = φ(x + t) + θ(x − t), em que φ(v) e θ(u) são funções

quaisquer, deriváveis até a 2 a ordem. Observe que g(u, v) = φ(v) + θ(u) satisfaz .

13. 0

14. 0

 

CAPÍTULO 15

Como 2 y = cos t , a imagem de γ é arco de parábola x = 2 y

−1, −1 ≤ y ≤ 1.

15.5 1. a) xy

b) 2 6 + 8( x − 1) + 10( y − 1) + 5( x − 1) + 4(x − 1)(y − 1) +

9( 2 y − 1)

2. 2 6 + 8( x − 1) + 10( y − 1) + 5( x − 1) + 2(x − 1)(y − 1) + 9(y −

1) 2 3 2 3 + ( x − 1) + + 2( x − 1) ( y − 1) + 3( y − 1) .

 

CAPÍTULO 16

 

16.2 1. é candidato a ponto de mínimo local.

2. Não admite extremante local: é o único ponto crítico

 

e não pode ser extremante local, pois,

 

3. (0, 0) e candidatos a ponto de máximo local.

 

4. é candidato a ponto de mínimo local. O ponto crítico (0,

0) não é extremante local, pois x = 0 não é extremante local de g 3 ( x ) = f ( x , 0) = x .

5. (−1, −1) é candidato a ponto de mínimo local. 6. (1, 1) é candidato a ponto de mínimo local; (−1, −1) é

candidato a ponto de máximo local. Os pontos críticos (1, −1) e (−1, 1) não são extremantes locais.

 

16.3 1. a) ponto de mínimo local. (Conforme Exercício

2, é ponto de mínimo global.)

b) (1, 1) é ponto de mínimo local, mas não global (f (0, y) =

y 3 – 4y + 5 tende a – ∞ quando y → – ∞). é

ponto de sela.

 

c) (−1, 1) é ponto de sela. é ponto de mínimo local,

 

mas não global ( 3 f ( x , 0) = x – 5x tende a – ∞ para x → – ∞).

 

d) é ponto de sela.

 

e)

são pontos de sela.

 

f) Não admite ponto crítico.

g) Os extremantes locais de f coincidem com os extremantes

locais de 2 2 g ( x , y ) = x + 2 xy + 4 y − 6x − 12y; (2, 1) é ponto de mínimo local. (Conforme Exercício 2, é ponto de mínimo global.)

h) (0, 0) ponto de máximo local; (0, 1), (0, −1), (1, 0) e (−1,

0) pontos de sela; (1, 1), (1, −1), (−1, 1) e (−1, −1) pontos de mínimo locais (verifique que são pontos de mínimo globais).

i) (1, 2) é ponto de mínimo local. j) (−1, −1) é ponto de mínimo local. l) (1, 1) é ponto de mínimo local; (1, −1) e (−1, 1) pontos de

sela; (–1, –1) ponto de máximo local.

 

e) Não admite extremante; (2, −2) é ponto de sela. [Desenhe

as imagens das curvas

 

γ = (t) = (t, − 2, f(t, − 2)) eγ2(t) = (2 − 3t, − 2 + 2t, z(t)) 1

 

em que z(t) = f(2 − 3t, −2 + 2t).]

f) (1, 2) ponto de mínimo global.

9. (1, 2, 1).

 

10. 2 2 2 2 L = p x + p y − [ x + 2 y + 2 xy ] = 120 x + 200 y − 3 x − 3 y 1 2.

− 2xy. A produção que maximiza o lucro é x = 10 e y = 30.

11. L = 5z − (2x + y). A produção z que maximiza o lucro é a

correspondente a x 15.8 e y = 20.4 ou seja, z = 1576,2.

 

15. a) (1, 0, 2) ponto de mínimo local (verifique que é ponto de

máximo global).

b) (1, 1, 1) ponto de mínimo local: (−1, −1, −1) ponto de

máximo local; (1, 1, −1), (1, −1, 1); (1, −1, −1), (−1, 1, 1), (−1, 1, −1) e (−1, −1, 1) não são extremantes (veja Exercício 16).

c) (−1, 1, 2) não extremante; é ponto de mínimo

local.

d) (3, −2, −1) não é extremante.

 

16.4 1. a) Valor máximo é 6 e é atingido em (2, 0); valor mínimo é

−3 e é atingido em (0, 3).

 

c) Valor máximo é 0 e é atingido nos pontos (0, y), 0 ≤ y ≤ 1.

O valor mínimo é −2 e é atingido em (1, 0).

d) Valor mínimo é 0 e é atingido nos pontos (0, y), 0 ≤ y ≤ 5,

(x, 0), 0 ≤ x ≤ . O valor máximo é que é atingido em

 

.

 

e) O único ponto crítico no interior de A é (0, 0) que não é

extremante. Assim, f assumirá os valores máximo e mínimo na fronteira 2 2 x + y = 4 de A; g (t) = f (2 cos t, 2

sen t) fornece os valores de f na fronteira. O valor máximo é 4, sendo atingido nos pontos (0, 2) e (0, −2). O valor mínimo é −4, sendo atingido nos pontos (2, 0) e (−2, 0).

f) Valor mínimo é 0, sendo atingido em (0, 0). Valor máximo

é 2, sendo atingido nos pontos (0, 1) e (0, −1).

 

3. (0, 2)

4. Valor máximo é 25, sendo atingido em (0, 5). 5. O problema consiste em maximizar o lucro L = 10x + 6y (x é

quantidade do produto I e y do produto II) com as restrições: x ≤ 20, y ≤ 45, 5x + 4y ≤ 200, 10x + 4y ≤ 240, x ≥ 0 e y ≥ 0. O lucro será máximo para x = 8 e y = 40.

 

6. (0, 1) maximiza; minimiza.

 

7. 2 2 2 Observe que Q ( at , bt ) = t Q ( a , b ), em que a + b = 1.

13. (1, 3) e (−1, −3). A mudança de coordenadas

 

transforma a equação dada na equação que é uma

hipérbole:

 

Observe que são os

 

versores de (1, 3) e (−3, 1).

14. (1, 1, 1).

15. 12 cada um.

16. Equilátero.

18. Cubo.

19. Cubo de aresta 1 m.

 

CAPÍTULO 17

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