8 Funções de Várias Variáveis Reais a Valores Reais

A maioria das relações que ocorrem na física, economia e, de modo geral, na natureza é traduzida por funções de duas, três e mais variáveis reais; daí a conveniência de um estudo detalhado de tais funções.

Neste capítulo e nos seguintes daremos ênfase ao estudo das funções reais

de duas variáveis reais, e o leitor não terá dificuldade em generalizar os resultados para funções de mais de duas variáveis, já que não há diferenças importantes.

 

8.1 Funções de Duas Variáveis Reais a Valores Reais

Uma função de duas variáveis reais a valores reais é uma função f : A → , em que A é um subconjunto de . Uma tal função associa, a cada par (x, y) ε A, um único número f(x, y) ε . O conjunto A é o domínio de f e será indicado por D . O conjunto f é a imagem de f. As palavras aplicação e transformação são sinônimas de função.

 

f transforma o par (x, y) no número f(x, y).

Por simplificação, deixaremos, muitas vezes, de especificar o domínio,

ficando implícito, então, que se trata do “maior” subconjunto do para o qual faz sentido a regra em questão.

 

Exemplo 1

 

Seja f a função de duas variáveis reais a valores reais dada por

. O domínio de f é o conjunto de todos os pares (x, y) de

números reais, com x ≠ y, isto é: . Esta função

transforma o par (x, y) no número real .

 

Exemplo 2

 

Seja f a função do exemplo anterior. Calcule

a) f(2, 3)

b) f(a + b, a – b)

Solução

 

Exemplo 3

 

Represente graficamente o domínio da função f dada por

 

Solução

O domínio de f é o conjunto de todos os pares (x, y), com y – x ≥ 0 e 1 – y

≥ 0:

 

Exemplo 4

 

Seja f a função dada por

 

( 2 x , y ) → z , em que z =5 x y – 3x.

O valor de 2 f em ( x , y ) é z = f ( x, y ) = 5 x y – 3x. Na equação acima, x e y

estão sendo vistas como variáveis independentes e z como variável

dependente. Observe que o domínio de f é o .

 

Exemplo 5

 

Represente graficamente o domínio da função w = f(u, v) dada por

 

u 2 2 2 + v + w = 1, w ≥ 0.

 

Solução

 

Assim, f é a função dada por . Seu domínio é o

conjunto de todos ( 2 2 u , v ), com 1 – u – v ≥ 0.

 

O domínio de f é o círculo de raio 1 e centro na origem.

 

Exemplo 6

Represente graficamente o domínio da função z = f(x, y) dada por

.

 

Solução

 

Exemplo 7

 

(Função polinomial.) Uma função polinomial de duas variáveis reais a

valores reais é uma função f : → dada por

 

em que p é um natural fixo e os a são números reais dados; a soma é mn

estendida a todas as soluções (m, n), m e n naturais, da inequação m + n ≤

p.

a) é uma função polinomial.

b) f(x, y) = ax + by + c, em que a, b, c são reais dados, é uma função

polinomial; tal função denomina-se função afim. Exemplo 8

 

(Função linear.) Toda função dada por

 

f(x, y) = ax + by

 

em que a, b são reais dados, denomina-se função linear. Toda função

linear é uma função afim.

 

Exemplo 9

 

(Função racional.) Toda função f dada por

 

em que p e q são funções polinomiais, denomina-se função racional. O

domínio de f é o conjunto .

 

a) é uma função racional. Seu domínio é:

.

 

b) é uma função racional; D = . g

 

Exemplo 10

 

(Função homogênea.) Uma função , denomina-se

função homogênea de grau λ se

 

f λ ( tx, ty ) = t f(x, y)

 

para todo t > 0 e para todo (x, y) ε A tais que (tx, ty) ε A.

a 2 2 ) f ( x, y ) = 3 x + 5 xy + y é homogênea de grau 2. De fato,

 

f 2 2 2 2 2 ( tx, ty ) = 3( tx ) + 5( tx )( ty )+( ty ) = t (3 x + 5 xy + y )

 

ou seja,

 

f 2 ( tx, ty ) = t (x, y).

 

b)

é homogênea de grau –1.

 

De fato,

 

c) f(x, y) = 2x + y + 5 não é homogênea. (Por quê?)

 

Exercícios 8.1

 

1. Seja f(x, y) = 3x + 2y. Calcule

 

2. Seja .

 

a) Determine o domínio.

b) Calcule f(2u + v, v – u).

 

3. Represente graficamente o domínio da função z = f(x, y) dada por

 

4. Seja uma função linear. Sabendo que f(1, 0) = 2 e f(0,

1) = 3, calcule f(x, y).

 

5. Verifique se a função é homogênea. Em caso afirmativo,

determine o grau de homogeneidade.

 

6. Suponha que seja homogênea de grau 2 e f(a, b) = a

para todo ( 2 2 a , b ), com a + b = 1. Calcule a)

 

b) f(0, 3)

 

c) f(x, y),(x, y) ≠ (0, 0)

 

7. Seja homogênea e suponha que f(a, b) = 0 para todo

( 2 2 a , b ), com a + b = 1. Mostre que f(x, y) = 0 para todo (x, y) ≠

 

(0, 0).