4 Aplicações à Estatística

4.1 Função Densidade de Probabilidade. Probabilidade de

Variável Aleatória Contínua

 

De nição. Seja f uma função de nida para todo x real e integrável em todo intervalo [a, b], com a e b

reais e a < b. Dizemos que f é uma função densidade de probabilidade se as seguintes condições estiverem

satisfeitas:

i) f (x) ≥ para todo x;

ii)

 

Exemplo 1

 

Sejam a < b dois reais quaisquer e f a função dada por

Verifique que f é uma função densidade de probabilidade.

 

Solução

De b > a segue que f (x) ≥ 0 para todo x. Por outro lado,

 

Logo, a função dada é uma função densidade de probabilidade.

 

Exemplo 2

 

Sendo β > 0, verifique que a função f dada por

 

é uma função densidade de probabilidade.

 

Solução

De β > 0 segue que f (x) ≥ 0 para todo x real. Por outro lado,

 

pois

 

Assim, a função dada é uma função densidade de probabilidade.

Consideremos um experimento qualquer, e seja S o espaço amostral associado a

tal experimento, ou seja, S é o conjunto de todos os possíveis resultados de tal experimento. Suponhamos, agora, que a cada resultado possível de tal experimento seja associado um número X. Pois bem, a variável X obtida dessa forma denomina-se variável aleatória. Se o conjunto de todos os valores de X for finito ou enumerável, dizemos que X é uma variável aleatória discreta.

Quando a variável aleatória X é discreta, é possível associar a cada valor de X

uma probabilidade. Consideremos, por exemplo, o experimento que consiste em lançar uma moeda. Neste caso, o espaço amostral é o conjunto {cara, coroa}; se ao resultado cara associarmos o número 0 e ao coroa o 1, a variável aleatória X poderá assumir qualquer valor do conjunto finito {0, 1}, e X será então uma variável aleatória discreta. Supondo a moeda honesta, a probabilidade p (x) de cada valor x de X é , ou seja, é usual a notação P (X = x) para representar a probabilidade de a variável aleatória X ser igual a x : P (X = x) = p(x). Observe que p(0) + p(1) = 1.

Consideremos, agora, um experimento em que o espaço amostral consiste em n

resultados possíveis, s , s , …, s , e a cada resultado s associamos um número 1 2 n i x ; então {x | i = 1, 2, …, n} é o conjunto dos valores possíveis da variável i i

aleatória discreta X; a cada valor possível x de X podemos atribuir uma i probabilidade p (x i ) = P (X = x i ), com p(x i ) ≥ 0 e Se o conjunto dos

possíveis valores assumidos por X for enumerável, ou seja, da forma {x | i i natural}, as duas condições acima deverão ser substituídas, respectivamente, por p (x ) ≥ 0, para todo i natural, e i

A seguir, definimos probabilidade de uma variável aleatória que não é discreta

mas que admite uma função densidade de probabilidade.

 

De nição. Sejam X uma variável aleatória e f uma função densidade de probabilidade. Dizemos que a

variável aleatória X tem densidade de probabilidade f se a probabilidade de X pertencer ao intervalo ]a, b[,

com a < b quaisquer (a = –∞ ou b = +∞), for dada por

respectivamente,

 

 

ou

 

Desse modo, a probabilidade de X estar entre a e b nada mais é do que a área da região limitada pelo gráfico de y = f (x), pelas retas x = a, x = b e pelo eixo x. De

para todo x, resulta que a probabilidade de a variável

aleatória X pertencer ao intervalo ]a, b[ é tal que 0 ≤ P (a ≤ X ≤ b) ≤ 1. Observe que f (x) dx é um valor aproximado para a probabilidade de a variável aleatória X estar compreendida entre x e x + dx.

Pelo que sabemos sobre as funções integráveis, nada muda nas definições acima se um dos sinais < (ou ambos) for trocado por ≤; assim, P (a ≤ X < b) = P(a < X < b) = P (a ≤ X ≤ b) etc.

Dizemos que uma variável aleatória X é contínua se, para todo a real, a probabilidade de X = a for zero. Pois bem, se X é uma variável aleatória que admite função densidade de probabilidade f, então X será uma variável aleatória contínua, pois para todo a real

Exemplo 3

 

Suponha que o tempo de duração de um determinado tipo de bateria

(digamos, bateria de relógio) seja uma variável aleatória X contínua com

função densidade de probabilidade dada por

 

sendo o tempo medido em anos.

a) É razoável tomar f como função densidade de probabilidade para a

variável aleatória X?

b) Qual a probabilidade de a bateria durar no máximo um ano?

c) Qual a probabilidade de o tempo de duração da bateria estar

compreendido entre 1 e 3 anos?

d) Qual a probabilidade de a bateria durar mais de 3 anos?

Solução

Pelo Exemplo 2, tal f é uma função densidade de probabilidade (β = 3).

a) Inicialmente, observamos que teoricamente X poderá assumir qualquer

valor real positivo. É razoável supor que a probabilidade de X pertencer ao intervalo [x, x + Δx], com Δx > 0 e constante e x ≥ 0, decresce à medida que x cresce, e, como a probabilidade de X ser menor que zero é zero, é então razoável esperar que a f seja nula para x menor que zero e decrescente no intervalo [0, +∞[. Como a f dada acima satisfaz tais condições, é então razoável tomar tal função como função densidade de probabilidade da variável aleatória X. É claro que essa f não é a única função que satisfaz tais condições.

b) A probabilidade de que a bateria dure no máximo um ano é a

probabilidade de a variável aleatória X pertencer ao intervalo [0, 1]:

 

Em termos percentuais, a probabilidade de a bateria durar menos de um ano é de aproximadamente 28%, ou seja, em cada 100 baterias, espera-se que 28 deixem de funcionar com menos de um ano de uso.

c) Assim, a

probabilidade de que a bateria dure de um a três anos é de 35%.

d) A probabilidade de que

a bateria dure mais de 3 anos é de 37%, ou seja, em cada 100 baterias, espera-se que 37 durem mais de 3 anos.

 

Exemplo 4

 

Seja f dada por

 

Que valor da constante k torna f uma função densidade de probabilidade?

Solução

Como precisamos determinar k de modo que

De (verifique), segue k = 2. Assim, para k = 2 a f é

uma função densidade de probabilidade.

 

Exercícios 4.1

 

1. Determine k para que a função dada seja uma função densidade de

probabilidade.

 

a 2 ) – x f ( x ) = kxe para x ≥ 0 e f (x) = 0 para x < 0.

 

b –|x–1| ) f ( x ) = ke para todo x.

 

c) f(x) = kx(x – 5), 0 ≤ x ≤ 5 e f (x) = 0 para x < 0 ou x >

5.

 

d) para todo x.

 

2. Suponha que o salário R$X de um funcionário de uma fábrica seja

uma variável aleatória com função densidade de probabilidade f(x) = kx –2 para x ≥ 400 e f (x) = 0 para x < 400.

 

a) Determine k para que f seja uma função densidade de

probabilidade.