16.2 Condições Necessárias para que um Ponto Interior ao Domínio de f Seja um Extremante Local de f

ou seja,

 

Exemplo 3

 

Seja ( 2 x , y ) definida em ℝ dada por

 

(0, 0) é ponto de mínimo local; (3, 0) é ponto de máximo local e todo

( 2 2 x , y ) pertencente à circunferência x + y = 4 é ponto de máximo

0 0

global de f. Deixamos a seu cargo fazer um esboço do gráfico de f e

verificar as afirmações acima.

 

16.2 Condições Necessárias para que um Ponto Interior

ao Domínio de f Seja um Extremante Local de f

O teorema que enunciaremos e demonstraremos a seguir fornece-nos um critério para selecionar, entre os pontos interiores de D , candidatos a f extremantes locais de f.

Teorema 1. Seja (x , y ) um ponto interior de D e suponhamos que 0 0 f

existam. Nestas condições, uma condição necessária para que (x , y ) 0 0

 

seja um extremante local de f é que

 

Demonstração

 

Suponhamos que (x , y ) seja um ponto de máximo local de f. Como (x , y ) 0 0 0 0 é ponto interior de D , existe uma bola aberta B ⊂ D , B de centro (x , y ) , f f 0 0 tal que, para todo (x, y) em B

 

Por outro lado, existe um intervalo aberto I, com x ∈ I, tal que para todo x ∈ 0 I, (x, y ) ∈ B. Consideremos a função g dada por 0

Temos;

 

daí

 

e, portanto,

 

De modo análogo, demonstra-se que

 

■

 

Segue deste teorema que se (x , y ) for interior a D , f diferenciável em 0 0 f

(x , y ) e (x , y ) extremante local de f, então o plano tangente ao gráfico de f 0 0 0 0

em (x , y , f (x , y )) será paralelo ao plano xy. 0 0 0 0

Dizemos que (x , y ) é um ponto crítico ou estacionário de f se (x , y ) 0 0 0 0

for interior a D e se ∇f (x , y ) = (0, 0). O teorema anterior nos diz que se f f 0 0

admite derivadas parciais em todos os pontos interiores de D , então os f pontos críticos de f são, entre os pontos interiores de D , os únicos candidatos f a extremantes locais de f.

Um ponto (x , y ) ∈ A que não é ponto interior de A denomina-se ponto 0 0

de fronteira de A. O teorema anterior não se aplica a pontos de fronteira de D f ; um ponto de fronteira de D pode ser um extremante local sem que as f

derivadas parciais se anulem nele. Os pontos de fronteira devem ser analisados separadamente.

 

Exemplo 1

 

Seja 2 2 f ( x , y ) = x + y . Como D é um conjunto aberto ( D = ℝ ), de

2 f f

 

segue que (0, 0) é o único candidato a extremante local. Como f (x, y ) ≥ f

(0, 0) = 0, para todo ( 2 x , y ) em ℝ , resulta que (0, 0) é um ponto de

mínimo global de f.

 

Exemplo 2

 

O único ponto crítico de 2 2 f ( x , y ) = x – y é (0, 0). Verifica-se sem

dificuldade que (0, 0) não é extremante local (para uma visualização

geométrica, desenhe as interseções do gráfico de f com os planos yz e xz).

O ponto (0, 0) denomina-se ponto de sela. O gráfico desta função tem o

aspecto de uma “sela de cavalo”: tente desenhá-lo.

Exemplo 3

 

 

Seja 2 z = f ( x , y ) com domínio A = {( x , y ) ∈ ℝ | x ≥ 0 e y ≥ 0}, em que

f 2 ( x , y ) = x y + 3x. O ponto (0, 0) é um ponto de mínimo de f em A pois

f(x,y) ≥ f(0, 0) em A. Como Este

fato não contradiz o Teorema 1, pois ele só se aplica a pontos interiores

de D e (0, 0) não é ponto interior de D (D = A). f f f

 

Suponhamos, agora, que o domínio de f seja aberto e que f seja de classe

C 2 . Suponhamos, ainda, que (x , y ) ∈ D seja um ponto de máximo local de

0 0 f

f. Consideremos a função g (x) dada por

 

g(x) = f(x, y ). 0

 

Tendo em vista as hipóteses sobre f, segue que x é ponto interior do domínio 0 de g e, além disso, é ponto de máximo local de g; como g é, também, de classe C 2 teremos que ter necessariamente

 

(observe que se tivéssemos g"(x ) > 0, x teria que ser ponto de mínimo local 0 0 de g). Da mesma forma, considerando a função h(y) = f(x , y), teremos que ter 0 necessariamente

 

Fica provado assim o seguinte teorema.

Teorema 2. 2 Seja f de classe C e seja (x , y ) um ponto interior do domínio de f. Uma condição

0 0

necessária para que (x 0 , y 0 ) seja ponto de máximo local de f é que (x 0 , y 0 ) seja ponto crítico de f e,

além disso, (Interprete geometricamente.)

 

Se no teorema acima as condições

 

forem trocadas por teremos uma condição

 

necessária para (x , y ) ser ponto de mínimo local de f. 0 0

 

Exemplo 4

 

Determine os candidatos a extremantes locais de 3 3 f ( x,y ) = x + y – 3x –

3y + 4.

 

Solução

Os únicos candidatos a extremantes locais são os pontos críticos, pois o

domínio de 2 f ( D = ℝ ) é aberto. De

f

 

resulta que os candidatos a extremantes locais são as soluções do sistema

 

As soluções do sistema são: (1, 1), (–1, 1), (1, –1) e (–1, –1). Temos:

Seja (x , y ) um ponto crítico de f (x, y). Sejam g (x) = f (x, y ) e h (y) = 0 0 0

 

(x , y). Observemos que se x não for extremante local de g, então (x , y ) 0 0 0 0 não será extremante local de f. Da mesma forma, se y não for extremante 0 local de h, então (x , y ) não será extremante local de f. (Verifique.) 0 0

 

Exercícios 16.2

 

Selecione os candidatos a extremantes locais, sendo f (x, y) =

 

1. 2 2 2 x + y – 2xy+x – y.

 

2. 2 2 x – y + 3xy – x + y

 

3. 3 2 x – y + xy + 5.

 

4.

x 3 3 + y – xy.