Um Curso de Cálculo, Volume 2
6.2 O Espaço Vetorial ℝ2
O leitor não terá dificuldade alguma em generalizar os conceitos deste
capítulo para o , n ≥ 3, em que indica o conjunto de todas as n-uplas ordenadas (x , x , ..., x ) de números reais. 1 2 n
6.2 O Espaço Vetorial
Identificando (x, y) com o vetor e indicando por os vetores associados, respectivamente, a (1, 0) e (0, 1) resulta da teoria dos vetores que
É imediato que se λ é um escalar, isto é, um número real, então, ,
em que P é o ponto de coordenadas (λx, λy). Por outro lado, se , é o vetor 1
associado a (s, t) e se , então é o vetor associado a (x + s, y + t) (verifique). Tudo isto sugere-nos a seguinte definição.
De nição. 2 Sejam ( x , y ) e ( s , t ) dois elementos quaisquer do ℝ e λ um real qualquer. De nimos:
a) (x + s, y + t) é a soma de (x, y) com (s, t): (x, y) + (s, t) = (x + s, y + t).
b) (λx, λy) é o produto de (x, y) pelo escalar λ : λ(x, y) = (λx, λy).
c) (x, y) + (–1) (s, t) é a diferença entre (x, y) e (s, t):
(x, y) – (s, t) = (x, y) + (–1) (s, t).
d) (x, y) = (s, t) ⇔ x = s e y = t.
As seguintes propriedades são de imediata verificação: quaisquer que sejam
(x, y), (s, t) e (u, v) em e quaisquer que sejam as escalares α e β tem-se: A1) [(x, y) + (s, t)] + (u, v) = (x, y) + [(s, t) + (u, v)]