Um Curso de Cálculo, Volume 2
5.2 Equações Diferenciais Lineares, Homogêneas, de 2ª Ordem, com Coeficientes Constantes
b Resolva supondo L = 2, R = 10, E (t) = 110 )
sen 120πt e i = 0 para t = 0.
5.2 Equações Diferenciais Lineares, Homogêneas, de
2 a Ordem, com Coeficientes Constantes
Uma a equação diferencial linear de 2 ordem, com coeficientes constantes, é uma equação da forma
em que b e c são números reais dados e f : I → ℝ, I intervalo, é uma função contínua dada.
Se f (t) = 0 em I, a equação acima se diz homogênea. Nosso objetivo a seguir é determinar a solução geral da equação
homogênea
Para isto, vamos precisar da equação algébrica
denominada equação característica de .
Observamos que se λ t 1 λ for raiz real de , então x = e será solução 1
de . De fato, para todo t.
O teorema que demonstraremos a seguir mostra-nos que, conhecendo as
raízes da equação característica, conhecemos, também, a solução geral da equação homogênea .
Teorema. Suponhamos que as raízes λ e λ da equação característica sejam reais. Então 1 2
(i) se λ ≠ λ , a solução geral da equação homogênea será 1 2
(ii) se λ = λ , a solução geral será 1 2
Demonstração
Como 2 λ e λ são raízes de λ + bλ + c = 0 temos
1 2
Assim,
que é equivalente a
Segue que x = x (t) será solução de se e somente se for solução
da equação linear de 1 a ordem
com λ t 2 u = k e segue que x = x (t) será solução de se e somente se 2
Deste modo, x = x (t) será solução de se e somente se for da forma
com k e k constantes. 1 2
Se λ ≠ λ , l 2
ou
em que A = k e 1
Se λ = λ , l 2
ou seja,
em que A = k e B = k . 1 2
Exemplo 1
Resolva a equação
Solução
A equação característica é 2 λ + 3λ + 2 = 0, cujas raízes são –1 e –2. A solução geral da equação é
Exemplo 2
Ache a solução do problema
Solução
O que queremos aqui é a solução da equação
que satisfaz as condições iniciais x (0) = 0 e x′(0) (1. Pelo exemplo
anterior, a solução geral é
Devemos, agora, determinar A e B para que as condições iniciais
sejam satisfeitas. Temos
Então
ou
e, portanto, A = 1 e B = 21. A solução do problema é
cujo gráfico é
Exemplo 3
Resolva a equação
Solução
Como λ = 4 é a única raiz da equação característica, a solução geral será
Exemplo 4
Resolva a equação
Solução
A solução geral da equação é
Na Seção 5.4, veremos como fica a solução geral da equação
homogênea , no caso em que as raízes da equação característica forem complexas. Antes, porém, precisamos construir o corpo dos números complexos; é o que faremos na próxima seção.
Exercícios 5.2
1. Resolva a equação
2. Determine a solução do problema.
3. Resolva a equação.