Um Curso de Cálculo, Volume 2
7.6 Integral
15. Seja F : I → derivável em t ∊ I e seja E(∆t) o erro que se 0
comete na aproximação do acréscimo “F(t 0 + ∆t) – F(t 0 )” por “F’(t )∆t “. Prove que E(∆t) tende a 0 mais rapidamente que ∆t, 0
quando ∆t tende a zero, isto é, que . Prove, ainda,
que para todo , com .
Observação. n A função linear de ℝ em ℝ dada por ∆t → F’(t )∆t denomina-se diferencial de F
0
em t 0 ; F(t 0 + ∆t) – F(t 0 ) = F’(t 0 )∆t + E(∆t), em que .
7.6 Integral
Sejam :[a, b] → uma função, P: a = t < t < t < ... < t = b e, para 0 1 2 m cada i, i = 1, 2, ..., m, seja c um ponto de [t , t ]. O vetor i t –t i
denomina-se soma de Riemann de relativa à partição P e aos pontos c . i
Dizemos que tende ao vetor , quando máx Δt → 0, e i
escrevemos
se, para todo ∊ > 0 dado, existir δ > 0 que só depende de ∊, mas não da particular escolha dos c , tal que i
para toda partição P de [a, b] com máx ∆t < δ. i
O vetor L que quando existe é único (verifique), denomina-se integral (de
Riemann) de em [a, b] e indica-se por . Assim, por definição,
Seja = (F , F , ..., F ) definida em [a, b]. Deixamos a cargo do leitor 1 2 n
verificar que será integrável em [a, b] se e somente se cada componente de
o for; além disso, se for integrável em [a, b], então
Se for integrável em [a, b] e uma primitiva de em [a, b] teremos
De fato:
então
Exemplo 1
Calcule .
Solução
Exemplo 2
Suponha contínua em [a, b]. Prove que
Solução
Sendo contínua em [a, b], || || também será; logo, existe.
assim, de
segue
Temos
Então
ou seja,
Exercícios 7.6
1. Calcule
2. Sejam . Calcule
3. Seja contínua e seja , t ∊ [a, b] Prove
que, para todo t ∊ [a, b].