Um Curso de Cálculo, Volume 2
15.6 Fórmula de Taylor com Resto de Lagrange
rapidamente que ||( 2 x,y )–( x , y )|| , quando (x,y) → (x ,y ).
0 0 0 0
5. Sejam f (x, y), P (x, y) e (x , y ) como no Exercício 4. Prove que 2 0 0
existe uma função φ (x, y) definida em A tal que, para todo (x, y) em A.
com
6. 3 2 Seja f ( x , y ) de classe C no aberto A ⊂ ℝ e seja (x , y ) um
0 0
ponto de A. Seja P 2 (x,y) um polinômio de grau no máximo 2. Prove que se
então P (x,y) é o polinômio de Taylor de ordem 2 de f em volta 2
de (x , y ) . 0 0
15.6 Fórmula de Taylor com Resto de Lagrange
Suponhamos n +1 2 f ( x , y ) de classe C no aberto A ⊂ ℝ . Sejam (x , y ) , (x +
0 0 0
h, y + k) e g (t) = f (x + ht, y + kt) como na seção anterior. Vimos que 0 0 0
e que
em que x = x + ht e y = y + kt. Deixamos a seu cargo provar por indução que 0 0
em que x = x + ht e y = y + kt. 0 0
Pela fórmula de Taylor com resto de Lagrange para funções de uma
variável, temos:
para algum t em ]0, 1[. Segue que
em que
para algum (x,y) interno ao segmento de extremidades (x , y ) e (x + h, y + 0 0 0 0 k).
Fica provado assim o seguinte
Teorema (Fórmula de Taylor com resto de Lagrange). n +1 Seja f ( x , y ) de classe C no
aberto 2 A ⊂ ℝ e sejam (x , y ) ∈ A e (h, k) ≠ (0, 0) tais que o segmento de extremidades (x ,
0 0 0
y 0 ) e (x 0 + h, y 0 + k) esteja contido em A. Nestas condições
em que
para algum (x,y) interno ao segmento de extremidades (x , y ) e (x + h, y + k). 0 0 0 0
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