4.4 Distribuição Normal

Va 2 ( X ) = β .

 

Conclusão:

 

E 2 ( X ) = β e Var ( X ) = β .

 

Exercícios 4.3

 

1. Determine E (X) e Var (X) da variável aleatória X com a função

densidade de probabilidade dada a seguir.

 

4.4 Distribuição Normal

Inicialmente, observamos que no Vol. 3 será provado o seguinte importante resultado:

 

Por – 2 x e ser uma função par, resulta

 

Exemplo 1

Seja – 2 x /2 f ( x ) = e com x real. Determine o valor da constante k de modo que f

seja uma função densidade de probabilidade.

 

Solução

Como f é uma função par, devemos ter Fazendo a mudança

de variável resulta

 

Para s → +∞ resulta

 

Deveremos ter então , ou seja,

 

Exemplo 2

 

Sendo μ e σ, σ > 0, duas constantes dadas, mostre que

 

Solução

Como o gráfico de é simétrico em relação à reta x =

μ, basta mostrar que

Fazendo a mudança de variável teremos dx = σ dz e z = 0 para x =

μ. Tendo em vista o exemplo anterior, segue que

 

A seguir, vamos destacar a distribuição de probabilidades mais importante da estatística: a distribuição normal.

 

De nição. Dizemos que a variável aleatória contínua X tem distribuição normal, com média μ e variância

σ 2 , σ > 0, se a sua função densidade de probabilidade for dada por

 

A notação 2 X : N ( μ , σ ) é usada para indicar que a variável aleatória X tem distribuição normal, com média 2 μ e variância σ (ou desvio padrão σ).

 

Exemplo 3

 

Seja X uma variável aleatória contínua, com distribuição normal, média μ e

variância 2 σ . Mostre que de fato tem-se:

a) E (X) = μ

b 2 ) Var ( X ) = σ .

Solução

 

Temos

Com a mudança de variável s = x 2 μ teremos

 

 

pois o integrando da segunda integral é uma função ímpar. Segue que

 

Assim,

 

pois

 

Portanto, E (X) = μ.

b) Temos

 

Tendo em vista a simetria do gráfico do integrando em relação à reta x = μ, resulta

 

Fazendo e integrando por partes,

vem

Assim, 2 Var ( X ) = σ .

 

 

Exemplo 4

 

Seja 2 X : N ( μ , σ ). Mostre que P(μ – σ ≤ X ≤ μ + σ) independe de μ e de σ e

que seu valor é

 

Solução

 

Fazendo a mudança de variável teremos dx = σ dz, z = 0 para x = μ,

z = 1 para x =μ + σ e, portanto,

 

Assim, a probabilidade de X pertencer ao intervalo [ μ – σ, μ + σ] independe

dos valores de

Observação. o Para calcular o valor da integral que aparece no 2 membro, é só utilizar a desigualdade (x

< 0)

 

(veja Exemplo 7 da Seção 16.3, Vol. 1) e proceder como no Exemplo 9 da Seção 16.3 mencionada.

Efetuados os cálculos, chega-se a: P(μ – σ ≤ X ≤ μ + σ) ≈ 0,68. Isto é, a probabilidade de X pertencer ao

intervalo [ μ – σ, μ + σ] é de aproximadamente 0,68. No Apêndice B, mostraremos como utilizar a

calculadora HP-48G no cálculo de probabilidades de algumas distribuições contínuas. Quando X tem

distribuição normal, existem tabelas para o cálculo de P(a ≤ X ≤ b).

 

Exemplo 5

 

Suponha que a distribuição das alturas dos 850 alunos de uma determinada

escola seja aproximadamente normal, com média 1,72 m e desvio padrão 0,10

m.

a) Qual o número esperado de alunos com altura entre 1,62 e 1,82 m?

b) Qual o número esperado de alunos com altura superior a 1,90 m?

 

Solução

Aqui μ = 1,72 e σ = 0,10.

a) P(1,62 ≤ X ≤ 1,82) = P(μ – σ ≤ X ≤ μ + σ) ≈ 0,68, como vimos no exemplo

anterior. Assim, o número esperado de alunos com altura entre 1,62 e 1,82 m é de aproximadamente 68% do total dos alunos da escola, ou seja, aproximadamente 578 alunos.

b) (o cálculo foi feito na

HP-48G). Assim, o número esperado de alunos com altura superior (ou igual) a 1,92 m é de aproximadamente 3,6% do total dos alunos da escola, ou seja, aproximadamente 31 alunos. (Já dá para montar um belo time de basquete ou de vôlei, não? Bem, depende!)

 

Exercícios 4.4

 

1. Seja X uma variável aleatória contínua, com distribuição normal,

média 2 μ e variância σ , σ > 0. Sendo r > 0 um número real qualquer, mostre que

 

e conclua que a probabilidade de X estar entre μ – rσ e μ + rσ, não depende de μ e σ, só depende de r.

 

2. 2 Seja X : N ( μ , σ ). Mostre que