Um Curso de Cálculo, Volume 2
16 Máximos e Mínimos
16.1 Pontos de Máximo e Pontos de Mínimo
Seja f (x, y) uma função a valores reais e seja (x , y ) ∈ A com A ⊂ D . 0 0 f Dizemos que (x , y ) é ponto de máximo de f em A se, para todo (x, y) em A, 0 0
Sendo (x , y ) ponto de máximo de f em A, o número f (x , y ) será 0 0 0 0
denominado valor máximo de f em A.
Dizemos que (x , y ) ∈ D é ponto de máximo global ou absoluto de f se, 0 0 f
para todo (x, y) ∈ D , f
Diremos, neste caso, que f (x , y ) é o valor máximo de f. 0 0
Finalmente, diremos que (x , y ) D é ponto de máximo local f se 0 0 ∈ de f
existir uma bola aberta B de centro (x , y ) tal que 0 0
para todo (x, y) ∈ B ⋂ D . f
Deixamos a seu cargo definir ponto de mínimo de f em A ⊂ D , ponto de f
mínimo global e ponto de mínimo local.
Os pontos de máximo e de mínimo de uma função f denominam-se
extremantes de f.
Exemplo 1
(0, 0) é ponto de mínimo global de 2 2 f ( x , y ) = x + y e f(0,0) = 0 é o valor
mínimo de 2 f , pois, f ( x , y ) ≥ f (0,0), para todo ( x , y ) em ℝ .
Exemplo 2
Seja f(x,y) = 2x – y e seja A o conjunto determinado pelas condições x ≥
0, y ≥ 0, x + y ≤ 3 e y ≥ x. Estude f com relação a máximo e mínimo em
A.
Solução
Tal estudo será feito com auxílio das curvas de nível de f.
Vemos, geometricamente, que são, respectivamente,
pontos de máximo e de mínimo de f em A; é o valor máximo
e f (0,3) = –3 é o valor mínimo de f em A. Para comprovar analiticamente
que o que dissemos acima está correto, podemos proceder do seguinte
modo: para todo (x, y) em A