17.4 Ajuste de Curva: A Reta dos Mínimos Quadrados

3. Seja α o plano do exemplo anterior. Uma partícula desloca-se

sobre α, e sabe-se que no instante t a posição da partícula é dada, em forma paramétrica, por: x = t, y = 2t e z = z (t).

 

a) Determine z (t).

 

b) Determine o instante em que a partícula se

encontra mais próxima do ponto (1, 0, 2).

 

17.4 Ajuste de Curva: A Reta dos Mínimos Quadrados

Consideremos a tabela

 

x y

 

x y 1 1

 

x y 2 2

 

x y 3 3

 

⋯ ⋯

 

x y n n

 

Sabemos que por dois pontos distintos sempre passa uma reta. Por mais

de dois pontos, só com muita sorte! Mas, de qualquer forma, vamos proceder como se houvesse uma reta passando por todos os pontos da tabela. Seja

 

ŷ = mx + q

 

a reta que estamos interessados em determinar. A notação ŷ, que é usual em estatística, indica que o valor ŷ correspondente ao valor de x é apenas uma estimativa para o verdadeiro valor de y. Para que tal reta passe por todos os pontos, devemos ter

 

De nição (de reta dos mínimos quadrados). Dizemos que ŷ = mx + q é a reta dos

mínimos quadrados para os dados da tabela acima se (m, q) for a solução LSQ do sistema S.

 

Se os pontos da tabela forem colineares, então a reta ŷ = mx + q passará

por todos os pontos (x , y ), i = 1, 2, ..., n. Mas, de modo geral, isso não i i

ocorrerá. Assim, em geral, o valor ŷ , ŷ = mx + q, será apenas uma i i i estimativa para o valor y da tabela (é comum referir-se a esse y como i i valor observado). Desse modo, quando usamos ŷ para estimar y , estamos i i cometendo um erro E : i

 

E = ŷ − y = mx + q − y , i = 1,2,…, n. i i i i

 

Segue que a soma W dos quadrados dos erros é

Como m e q da reta dos mínimos quadrados ŷ = mx + q é a solução LSQ do sistema S, resulta que tal reta é determinada de modo que a soma dos quadrados dos erros seja mínima.

 

 

A reta dos mínimos quadrados é a reta que minimiza a soma dos quadrados dos erros E . i

 

Exemplo

 

Considere a tabela

 

x 2 4 6 8 10

 

y 5 4 8 6 12

 

a) Construa o diagrama de dispersão.

b) Determine a reta dos mínimos quadrados.

Utilizando a reta dos mínimos quadrados, estime os valores de y

c) para x = 5 e x = 8.

d) Calcule as médias aritméticas x e y dos x e dos y , i i

respectivamente.

e) Verifique que a reta dos mínimos quadrados passa pelo ponto (x,

y).

f 2 ) Calcule a soma dos quadrados ( y – y ) i g 2 ) Calcule a soma dos quadrados ( ŷ – y )

h) Calcule a soma dos quadrados dos erros E . i

i) Verifique que . (Está

 

parecendo teorema de Pitágoras, não? Veremos mais adiante que isso ocorre sempre!)

j) Justifique a afirmação: “É razoável esperar que os ŷ se i

concentrem mais em torno de y do que os y .” i

k)

Calcule o coeficiente de determinação (Observe

 

que 0 ≤ 2 R ≤ 1.

Observe ainda que, 2 quanto mais próximo de 1 estiver o R ,

melhor deverá ser o ajuste da reta dos mínimos quadrados aos pontos da tabela. De acordo?)

 

Solução

a) O diagrama de dispersão é a representação gráfica dos pontos da

tabela.

b) Seja ŷ = mx + q a reta procurada. Temos

 

Em forma vetorial, temos

 

em que

 

O sistema auxiliar é

e, portanto,

 

Resolvendo, obtém-se .

 

Conclusão: A reta dos mínimos quadrados é ŷ = 0,8x + 2,2.

 

c) Para x = 5, ŷ = 6,2; para x = 8, ŷ = 8,6.

 

e) ŷ = 0,8x + 2,2; para x = 6, tem-se ŷ = 7. Logo, a reta ŷ = 0,8x + 2,2

passa pelo ponto (x, y) = (6, 7). Então, a reta dos mínimos quadrados pode ser colocada na forma ŷ – 7 = 0,8(x – 6). Para resolver os próximos itens, vamos precisar da seguinte tabela.

j) É razoável, pois da relação anterior resulta que a soma dos

quadrados dos desvios ŷi – y é menor ou igual à soma dos quadrados dos desvios ŷ – y, e, assim, é de se esperar que os ŷ i i estejam mais concentrados em torno da média y = 7 do que os y . i OK?

k)

. Assim, o coeficiente de

 

determinação 2 é R = 0,64. (Pelo coeficiente de determinação, o

ajuste pela reta dos mínimos quadrados não é lá essas coisas. Concorda?)

 

Para encerrar a seção, vamos explicitar as fórmulas para calcular m e q.

Para isso, consideremos a tabela do início da seção.

 

Os coe cientes m e q da reta dos mínimos quadrados

 

ŷ = mx + q

 

são dados por

 

e

 

q = –mx + y

 

em que x e y são as médias aritméticas

 

Antes de prosseguirmos, vamos destacar uma propriedade muito

importante da reta dos mínimos quadrados.

Propriedade importante da reta dos mínimos quadrados.

 

Substituindo

 

q = –m x + y

 

na reta dos mínimos quadrados, obtemos

 

ŷ – y = m (x – x).

 

A reta dos mínimos quadrados sempre passa pelo ponto (x, y).

 

Vamos, agora, à demonstração das fórmulas para calcular m e q

 

Segue que

 

Lembrando das fórmulas para o cálculo das médias aritméticas x e y, resulta

 

Então, o sistema auxiliar será equivalente a Multiplicando a segunda equação por –x e somando com a primeira, obtemos

 

Da segunda equação de SA, obtemos

 

q = + mx = y.

 

Para verificar que

 

é só desenvolver o numerador e o denominador do segundo membro. Vamos lá.

 

De

e

 

segue

 

Para verificar que basta substituir, na relação

 

acima, y por x e y por x. k k

Existe uma outra maneira, bastante interessante, de verificar a relação

anterior. O caminho para essa outra maneira é lembrar que a reta dos

mínimos quadrados passa pelo ponto (x, y). Seja

 

ŷ – y = m (x – x)

 

a reta dos mínimos quadrados para os pontos (x , y ), i = 1, 2, ..., n. Então, i i a reta

 

Ŷ = mX

 

será a reta dos mínimos quadrados para os pontos (X , Y ), em que X = x i i i i – x e Y = y – y, pois o que fizemos com essa mudança de variável foi i i

apenas uma translação. Então, o coeficiente m será a solução LSQ do sistema

Sendo

 

teremos o sistema auxiliar

 

e, portanto,

 

O que você achou?

 

Exercícios 17.4

 

1. Considere a tabela

 

x 0 1 2 3 4 5

 

y –1 2 1,5 3,5 3,8 4,5

 

a) Construa o diagrama de dispersão. b) Determine a reta dos mínimos quadrados.