7.4 Limite e Continuidade

Verifique que

 

7.4 Limite e Continuidade

Antes de definirmos limites faremos a seguinte observação: sempre que estivermos lidando com função de uma variável real ficará subentendido que o domínio ou é um intervalo ou uma reunião de intervalos.

 

De nição 1. n Seja F uma função de uma variável real a valores em ℝ e seja t um ponto do

0

domínio de F ou extremidade de um dos intervalos que compõem o domínio de F. Dizemos que F(t)

tende a L n , L ∊ ℝ , quando t tende a t , e escrevemos , se para todo ∊ > 0 dado,

0

existir δ > 0 tal que, para todo t ∊ D , F

 

Observação

 

em que B (L) é a bola aberta de centro L e raio ∊

.

A figura seguinte nos dá uma visão geométrica do significado de

, no caso n = 2:

 

dado ∊ > 0, existe δ > 0, tal que F(t) permanece na bola aberta B (L) quando ∊ t percorre o intervalo

 

Exemplo 1

 

Seja F uma função de uma variável com valores em e seja L ∊ .

Mostre que

 

Solução

O exemplo acima nos diz que se F(t) tende a L, para t → t , então a 0

distância de F(t) a L(||F(t) – L||) tende a zero, para t → t , e reciprocamente. 0

Antes de demonstrar o próximo teorema, lembramos que se

, então, para , ou seja, o

comprimento de é maior ou igual ao módulo de qualquer uma de suas componentes (veja Exercício 4, Seção 6.4).

Seja, agora, F = (F , F , ..., F ) uma função de uma variável com valores 1 2 n

em e seja L= (L , L , ..., L ) ∊ ; temos 1 2 n

 

Do que vimos acima, resulta:

 

O próximo teorema nos diz que existirá se e somente se existirem

e forem finitos os limites das componentes F de F. Além disso, se, para i = 1, i 2, ..., n, acontecer , então .

 

Teorema. n Sejam F = ( F , F , ..., F ) uma função de uma variável com valores em ℝ e L = (L ,

1 2 n 1

L 2 , ..., L n ) ∊ . Então

 

Demonstração

 

Vamos provar primeiro a implicação

De lim segue que . Por outro lado, para todo i = 1, 2, ..., n,

 

 

Pelo teorema do confronto,

 

Reciprocamente, de para i = 1, 2, ..., n, segue que

 

e, portanto, ; logo,

 

Exemplo 1

 

Seja . Calcule .

 

Solução

 

Exemplo 2

Seja . Calcule .

 

Solução

 

De

 

segue

 

O próximo exemplo nos diz que o limite de um produto escalar é igual ao

produto escalar dos limites, desde que tais limites existam.

 

Exemplo 3

 

Sejam duas funções de uma

va riável com valores em . Suponha que

 

em que . Mostre que

 

Solução

Então

 

De nição 2. n Sejam F : A → ℝ e t ∊ A. De nimos:

0

 

Dizemos que F é contínua em B ⊂ A se F for contínua em todo t ∊ B;

dizemos, simplesmente, que F é contínua se for contínua em cada t de seu domínio.

Do teorema anterior, resulta que F será contínua em t se e somente se 0

cada componente de F o for.

 

Exercícios 7.4

 

1. Calcule

2. Sejam duas funções de uma

 

variável real a valores em e f uma função de uma variável real

a valores reais. Suponha que ,

em que , e L real. Prove:

 

3. Determine o conjunto dos pontos de continuidade. Justifique a

resposta.

 

4. Sejam contínuas em t ∊ A. Prove que 0

são contínuas em t . Se n = 3, também é 0

contínua em t 0.

 

5. Sejam . Suponha e que

para todo t ∊ A em que M > 0 é um real fixo. Prove.