6.5 Conjunto Aberto. Ponto de Acumulação

17. Sejam vetores não nulos do . Mostre que

, em que θ é o ângulo entre .

 

18. Prove que quaisquer que sejam em

 

6.5 Conjunto Aberto. Ponto de Acumulação

 

Sejam (x , y ) um ponto do e r > 0 um real. O conjunto 0 0

 

denomina-se bola aberta de centro (x , y ) e raio r. 0 0

 

No plano, a bola aberta de centro (x , y ) e raio r é o conjunto de todos os 0 0

pontos “internos” ao círculo de centro (x , y ) e raio r. 0 0

Seja A um subconjunto não vazio de . Dizemos que (x , y ) ∊ A é um 0 0

ponto interior de A se existir uma bola aberta de centro (x , y ) contida em A. 0 0

 

Exemplo 1

Seja .

a) Todo (x, y), com x > 0 e y > 0, é ponto interior de A.

b) Todo (x, y), com x = 0 ou y = 0, não é ponto interior de A.

De fato,

a) se (x, y) ε A, com x > 0 e y > 0, então a bola aberta de centro (x, y) e

raio r = mín {x, y} está contida em A; logo, (x, y) é ponto interior de A.

b) se (x, y) ε A, com x = 0 ou y = 0, então (x, y) não é ponto interior de

A, pois A não contém nenhuma bola aberta de centro (x, y).

 

De nição. Seja A um subconjunto não vazio de . Dizemos que A é um conjunto aberto se todo

ponto de A for ponto interior.

 

Observação. Por de nição, o conjunto vazio é um conjunto aberto.

 

Exemplo 2

Toda bola aberta é um conjunto aberto.

 

Solução

Seja B uma bola aberta de centro (x , y ) e raio r. Precisamos mostrar 0 0

que todo ponto (x , y ) de B é ponto interior. Seja, então, α a distância 1 1

de (x , y ) a (x , y ), isto é, 1 1 0 0

 

Vamos mostrar que a bola aberta B de centro (x , y ) e raio r , com 0 < 1 1 1

r < r – α, está contida 1

 

Seja, então, (x, y) ε B; temos

 

Logo, (x, y) ε B. Portanto, B está contido em B.

 

Exemplo 3

Solução

a) Imediato.

b) Os pontos (x, y) ε A, com x = 0 ou y = 0, não são pontos interiores;

logo, A não é aberto.

c) Se (x, y) ε A, a bola aberta de centro (x, y) e raio r = mín {x, y} está

contida em A; logo, A é aberto.

 

De nição. Seja A um subconjunto do e seja (a, b) ε ((a, b) pode pertencer ou não a A).

Dizemos que (a, b) é ponto de acumulação de A se toda bola aberta de centro (a, b) contiver pelo

menos um ponto (x, y) ε A, com (x, y) ≠ (a, b).

 

Grosso modo, dizer que (a, b) é ponto de acumulação de A significa dizer

que existem pontos de A, distintos de (a, b), tão próximos de (a, b) quanto se queira.

 

Exemplo 4

 

Todo (x, y), com x ≥ 0 e y ≥ 0, é ponto de acumulação do conjunto A

sendo , e o ponto não é ponto de

 

acumulação de A, pois existe uma bola aberta de centro que não

contém ponto de A.

Exemplo 5

 

O conjunto A = {(1, 2),(–1, 0),(1 ,3)} não admite ponto de acumulação,

pois qualquer que seja o ponto (a, b) de , existe uma bola aberta de

centro (a, b) e raio r que não contém ponto de A distinto de (a, b). (Se (a,

b) não pertence a A, basta tomar r como a menor das distâncias de (a, b)

aos pontos (1, 2), (21, 0) e (1, 3); se (a, b) ε A, basta tomar .)

 

Exercícios 6.5

 

1. Verifique quais dos conjuntos a seguir são abertos em .

2. Determine o conjunto dos pontos de acumulação do conjunto

dado.

 

3. Defina bola aberta de centro (x , y , z ) e raio r > 0 no . 0 0 0

Interprete geometricamente.

 

4. Defina bola aberta, conjunto aberto e ponto de acumulação no .

 

5. Sejam A e B dois subconjuntos do . Prove que se A e B forem

abertos, então A ∪B e A∩B também serão.

 

6. Suponha que, para cada natural n, A n é um subconjunto aberto do

. Seja B a reunião de todos os A e C a interseção de todos os n

A n . Pergunta-se: B é aberto? C é aberto? Justifique.

Seja F um subconjunto do . Dizemos que F é um conjunto

7. fechado se o conjunto de todos os (x, y) não pertencentes a F for

aberto. Verifique quais dos conjuntos a seguir são fechados.

 

8. Suponha que o conjunto B, B ⊂ , não seja aberto. Pode-se

concluir que B é fechado? Sim ou não? Justifique.

 

9. Dizemos que A ⊂ é um conjunto limitado se existir um m > 0

tal que || (x, y) || < m para todo (x, y) ε A. Prove que se A for limitado e se A contiver um número infinito de pontos, então A admitirá pelo menos um ponto de acumulação. A afirmação continua verdadeira se uma das hipóteses for omitida?

 

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