4.3 Valor Esperado e Variância de Variável Aleatória

Observe que F é descontínua nos pontos x = 0 e x = 1. Observe, ainda, que

Exercícios 4.2

1. Determine a função de distribuição da variável aleatória X, sendo sua

função densidade de probabilidade dada a seguir.

2. Sabendo que a função de distribuição da variável aleatória X é dada

por determine sua função densidade de

probabilidade.

3. Seja X uma variável aleatória discreta que pode assumir qualquer

valor do conjunto {0, 1, 2} e com probabilidades

Esboce o gráfico da função de

distribuição da variável aleatória X.

4.3 Valor Esperado e Variância de Variável Aleatória

Consideremos uma coleção de n números reais em que o número x aparece 1 repetido n 1 vezes, x 2 aparece n 2 vezes, …, x k aparece n k vezes, de tal modo que

pois bem, a média aritmética desses números é dada por

Sabemos que a distância do número assim, o quadrado da

distância de x a é A média aritmética dos quadrados das distâncias de i

x a , i de 1 a k, é, por definição, a variância de tais números: i

A raiz quadrada da variância denomina-se desvio padrão de tais números:

Observe que, quanto maior o desvio padrão, mais afastados estarão os números

x i da média , e, quanto menor o desvio padrão, mais concentrados em torno da média estarão os números x . i

Consideremos, agora, uma variável aleatória discreta X com possíveis valores

x , x , x , …, x e probabilidades p (x ), p (x ), …, p (x ). Por definição, o 1 2 3 k 1 2 k valor esperado ou média de X, que se indica por E (X) ou simplesmente por μ, é

Por outro lado, a variância de X, que se indica por Var (X) ou simplesmente por

σ 2 , σ > 0, é, por definição, dada por

Observe que se para i de 1 a k, o valor esperado E (X) nada mais é

do que a média , e Var (X) nada mais é do que a variância dos números x , x , x , 1 2 3 …, x , em que x aparece repetido n vezes e k i i

A raiz quadrada de Var (X) é o desvio padrão σ da variável aleatória X:

Observando que, para dx suficientemente pequeno, f (x) dx é praticamente a probabilidade de ocorrência de x, nada mais natural do que as seguintes definições de valor esperado e variância para uma variável aleatória contínua.

De nição. Seja X uma variável aleatória contínua X, com função densidade de probabilidade f. De nimos

o valor esperado E (X) de X por

e a variância Var (X) de X por

desde que as integrais impróprias sejam convergentes.

Lembrando que E (X) é um número, temos

Exemplo

Seja X a variável aleatória com função densidade de probabilidade

Calcule o valor esperado e a variância de X.

Solução

Cálculo do valor esperado E (X). Como f (x) = 0 para x < 0, vem

Integrando por partes, temos

e, portanto,

Assim, o valor esperado da variável aleatória X é E (X) = β. Vamos, agora, ao

cálculo de Var (X). Tendo em vista ,

Integrando duas vezes por partes, obtém-se:

Lembrando que E (X) = β, resulta: