Um Curso de Cálculo, Volume 2
14 Derivadas Parciais de Ordens Superiores
14.1 Derivadas Parciais de Ordens Superiores
Seja a função z = f(x,y); na Seção 10.1 vimos como construir as funções
Da mesma forma, podemos, agora, construir as funções:
Exemplo 1
Seja 5 4 2 f ( x,y ) = 4 x y – 6 x y + 3.Calcule todas as derivadas parciais de
2 a ordem.
Solução
Note que, neste exemplo,
Exemplo 2
Mostre que
Solução
a) Devemos, primeiro, determinar
Em (0, 0) temos:
Temos, agora:
O exemplo anterior mostra-nos que a igualdade
nem sempre se verifica. O próximo teorema, cuja demonstração é deixada para exercício (veja Exercício 15), fornece-nos uma condição suficiente para que tal igualdade ocorra. Antes de enunciar tal teorema, vamos definir função de classe n C .
Uma função 2 n f : A ⊂ ℝ → ℝ , A aberto, é dita de classe C em A se f
admitir todas as derivadas parciais de ordem n contínuas em A.
O teorema que enunciaremos a seguir conta-nos que se 2 f for de classe C
em A, A aberto, então as derivadas parciais mistas serão iguais
em A.
Teorema (de Schwarz). 2 2 Seja f : A ⊂ ℝ → ℝ A aberto. Se f for de classe C em A,
para todo (x,y) ∈ A.
Exercícios 14.1
1. a Calcule todas as derivadas parciais de 2 ordem.
a 3 2 ) f ( x,y ) = x y
b 2 2 ) x – y z = e
c 2 2 z = ln(1+ x + y )
d) 3 4 3 g ( x,y ) = 4 x y + y
2. Seja
Sejam 2 2 f , g : A ⊂ ℝ → ℝ , A aberto, duas funções de classe C e
5.
tais que
Prove que
6. 3 2 Sejam f : A ⊂ ℝ → ℝ de classe C no aberto A. Justifique as
igualdades.
10. Seja u = f(x – at)+ g(x+at), em que f e g são duas funções
quaisquer de uma variável real e deriváveis até a 2 a ordem. Verifique que
11. Sejam x = x(u,v) e y = y (u,v) duas funções que admitem derivadas
parciais num mesmo aberto A. Suponha que (1, 1) ∈ A e que x (1, 1) > 0. Suponha, ainda, que para todo (u, v) ∈ A
15. Seja z = f(x,y),(x,y) ∈ A, com A aberto. Suponha que
estão definidas em A e que são contínuas em A. Seja
(x , y ) um ponto qualquer de A; seja B uma bola aberta de 0 0
centro ( 0 x , y ) e contida em A . Sejam h e k tais que ( x + h, y +
0 0 0
k) pertença a B. Seja, ainda,
Observação. A razão de considerarmos a expressão H (h, k) é a seguinte: