4.5 Função de Variável Aleatória

em que a < b são dois reais quaisquer.

 

 

3. Sejam X : N (50, 16) e Y : N (60, 25).

 

a) Resolva a equação P(X ≤ x) = P(Y ≤ x).

 

b) Resolva a inequação P(X ≤ x) < P(Y ≤ x).

 

4. Sejam Discuta a equação P(X ≤ x) = P(Y ≤

x).

 

5. Considere a função φ dada por

 

sendo a, b e σ constantes, com a < b.

 

a) Mostre que

 

b) Calcule

 

4.5 Função de Variável Aleatória Consideremos a função Y = h (X) definida para todo X real. Se supusermos X uma variável aleatória, a variável Y será também aleatória; desse modo, teremos a variável Y como função da variável aleatória X. Um problema que surge naturalmente é o seguinte: conhecida a função densidade de probabilidade de X, como se determina a de Y ? Um caminho para resolver o problema é determinar a função de distribuição de Y. Antes, vamos relembrar como se deriva uma função dada por integral quando um dos extremos de integração é uma função.

 

Sejam f contínua em um intervalo I e g de nida e derivável em um intervalo J e tal que g (x) ∈ I,

para todo x em J. Nessas condições, para todo x em J, tem-se

 

em que a = I, com a xo. Se I for da forma ]–∞, b [ , poderemos tomar a = –∞. (Reveja os Capítulos 2 e

3.)

 

Uma das funções de variável aleatória que desempenha papel fundamental na inferência estatística é a dada por

 

em que 2 X é uma variável aleatória com distribuição normal N ( μ , σ ). Vamos mostrar no próximo exemplo que Z é uma variável aleatória com distribuição normal padrão, ou seja, Z : N (0, 1).

 

Exemplo 1

 

Seja Z a variável aleatória dada por

em que 2 X é uma variável aleatória com distribuição normal N ( μ , σ ). Mostre

que Z tem distribuição normal padrão Z : N (0, 1).

 

Solução

Precisamos mostrar que a função F de distribuição de Z é dada por

 

Temos

 

De 2 X : N ( μ , σ ), segue que

 

Então,

 

em que Segue que

 

e, portanto,

 

(Outro modo de resolver o problema, é mostrando diretamente que

Temos

 

Segue que

 

Fazendo a mudança de variável teremos dx = σdz, z = a para x = aσ

+ μ, z = b para x = bσ + μ e, portanto,

 

Este resultado é tão importante que merece ser destacado em um quadro.

 

Se 2 X for uma variável aleatória com distribuição normal, X : N ( μ , σ ), e se Z for dada por

 

então a variável aleatória Z terá distribuição normal padrão Z : N (0, 1).

 

Exemplo 2

 

Seja X uma variável aleatória com função densidade de probabilidade f

definida e contínua em todo x real. Seja Y = c X + d, em que c e d são

constantes, com c > 0 (c < 0).

 

a) Qual a função densidade de probabilidade da variável aleatória Y?

b) Mostre que E (Y) = c E (X) + d.

c 2 ) Mostre que Var ( Y ) = c Var (X).

 

Solução

 

Suporemos c > 0 (você se encarrega de c < 0).

a) Sendo F a função de distribuição de Y, temos:

 

Como a f é contínua em todo x, F é derivável e

 

Segue que existe uma constante k tal que

 

Como (de acordo?) resulta k = 0.

 

Logo, é a função densidade de probabilidade da

variável aleatória Y.

(Sugestão: Sugerimos ao leitor mostrar diretamente que

 

Para isto proceda da seguinte forma:

c) Temos

 

Com a mudança de variável acima,

 

De E (Y) = cE (X) + d, resulta

 

Exemplo 3

 

Seja 2 Y = X , em que X é uma variável aleatória com função densidade de

probabilidade f, definida e contínua em todo x real. Qual a função densidade

de probabilidade de Y?

 

Solução

Vamos calcular diretamente P (a < Y < b). Como Y ≥ 0, podemos supor 0 ≤ a

< b. Temos

 

P 2 ( a < Y < b ) = P ( a < X < b).

 

De

 

resulta

 

Segue que

 

Fazendo na primeira integral, a mudança de variável e na segunda

e supondo a > 0, obtemos

 

Como, para a → 0, o segundo membro desta igualdade converge para P (0 <

Y < b), em que P (0 < Y < b) é calculado na igualdade anterior, temos

 

para quaisquer a e b reais, com 0 ≤ a < b. Assim, a função densidade de

probabilidade g da variável aleatória Y é dada por