Um Curso de Cálculo, Volume 2
8.3 Funções de Três Variáveis Reais a Valores Reais. Superfícies de Nível
Superfícies de Nível
Uma função de três variáveis reais a valores reais, definida em A ⊂ , é uma função que associa, a cada terna ordenada (x, y, z) ε A, um único número real w = f(x, y, z). O gráfico de tal função é o conjunto
O gráfico de f é então um subconjunto do , não nos sendo possível,
portanto, representá-lo geometricamente. Para se ter uma visão geométrica de tal função, podemos nos valer de suas superfícies de nível. Seja c ε lm f o conjunto de todos os pontos (x, y, z) ε A tais que f(x, y, z) = c denomina-se superfície de nível correspondente ao nível w = c.
Exemplo 1
Seja f(x, y, z) = y. Para cada real c, a superfície de nível correspondente a
w = c é o plano y = c.
Exemplo 2
As superfícies de nível de 2 2 2 f ( x , y , z ) = x + y + z são superfícies
esféricas de centro na origem
x 2 2 2 + y + z = c.
A superfície de nível correspondente a c = 0 é o ponto (0, 0, 0).
Exercícios 8.3
1. Represente geometricamente o domínio da função dada.
2. Desenhe a superfície de nível correspondente a c = 1.
a) f(x, y, z) = x
b) f(x, y, z) = z
c) 2 2 f ( x, y, z ) = x + y
d 2 2 ) f ( x, y, z ) = x + 4 y + z2
3. Duas superfícies de nível de uma função f podem interceptar-se?
Justifique.
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