16.6 Exemplos Complementares

Prove que λ e λ são, respectivamente, os valores mínimo e 1 2

máximo de 2 2 Q sobre a circunferência x + y = 1.

 

16.6 Exemplos Complementares

 

Exemplo 1

 

Seja 2 2 f ( x , y ) de classe C num aberto A do ℝ . Suponha que (x , y ) ∈

0 0

A seja um ponto crítico de f. Prove que uma condição necessária para

(x , y ) ser um ponto de mínimo local de f é que 0 0

 

para todo (h, k)

 

Solução

Seja e consideremos a função

 

Suponhamos que (x , y ) seja ponto de mínimo local de f ; então t = 0 0 0

será ponto de mínimo local de e, portanto, deveremos ter

necessariamente Como

(verifique) resulta que

 

para todo (h, k), é uma condição necessária para (x , y ) ser ponto de 0 0

mínimo local de f.

 

Observação. Note que fornece os valores que f assume sobre o trecho da reta (x, y) = (x , y ) 0 0

+ t (h, k) contido em D . f

 

Exemplo 2

 

Considere a forma quadrática

 

Q 2 2 ( h , k ) = ah + 2 bhk + ck

 

em que a, b e c são constantes. Suponha a ≠ 0. Verifique que

Solução

 

ou seja,

 

Exemplo 3

 

Considere a forma quadrática

 

Q(h,k) 2 2 = ah + 2 bhk + ck .

 

Prove:

 

Solução

 

Pelo Exemplo 2, sendo a ≠ 0,

(i) imediata.

 

(ii) se a = 0, teremos necessariamente b 0; neste caso, existe α tal que

Q (α, 1) e Q (α, –1) terão sinais contrários. (Verifique.) Se

terão sinais contrários

 

Exemplo 4

 

Seja 2 2 f ( x , y ) de classe C num aberto A do ℝ e seja (x , y )) A um

0 0

ponto crítico de f. Prove que se

 

então (x , y ) não é extremante local de f. 0 0

 

Solução

Seja

 

Pela regra da cadeia,

Pelo Exemplo 3 (ii)

 

tais que

 

Assim, t = 0 é ponto de máximo local de e ponto de mínimo local

de Logo, (x , y ) não é extremante local de f. 0 0

 

Seja (x , y ) ∈ D um ponto crítico de f. Dizemos que (x , y ) é ponto de 0 0 f 0 0

sela de f se em toda bola aberta de centro (x , y ) existirem pontos (x , y ) e 0 0 1 1 (x , y ) com f (x , y ) < f (x , y ) e f (x , y ) < f (x , y ). 2 2 1 1 0 0 2 2 0 0

Seja 2 2 f ( x , y ) de classe C num aberto A de ℝ e seja (x , y ) ∈ A um

0 0

ponto crítico de f. Segue do Exemplo 4 que se H (x , y ) > 0, então (x , y ) 0 0 0 0 será ponto de sela de f (verifique).

 

Exemplo 5

 

Sejam 2 f ( x , y ) de classe C e (x , y ) um ponto interior de D . Suponha

0 0 f

que (x , y ) seja ponto crítico de f. Prove: 0 0

 

Solução

a) Da hipótese e da continuidade das funções

 

segue, pelo teorema da conservação do sinal, que existe uma bola aberta B de centro (x , y ) (podemos supor B ⊂ D , pois (x , y ) é 0 0 f 0 0 ponto interior de D ) tal que, para todo (x, y) em B, f

 

Pela fórmula de Taylor, com resto de Lagrange (veja teorema da Seção

15.4), para todo (h, k), com (x + h, y0 + k) ∈ B, existe interno 0

ao segmento de extremidades (x , y ) e (x + h, y + k) tal que 0 0 0 0

 

para todo (x, y) em B, com (x, y) ∈ (x , y ). Portanto (x , y ) é 0 0 0 0

ponto de mínimo local de f.

b) Fica a seu cargo. [Basta verificar que (x , y ) é ponto de mínimo 0 0

local de g (x, y) = – f (x, y).]

 

Exemplo 6

 

Sejam α, β, γ, δ, ∊ e φ números reais dados. Considere a forma

quadrática

 

Supondo α ≠ 0, verifique que

Solução

 

Assim,

Como,

 

 

resulta

Exemplo 7

 

 

Considere a forma quadrática

 

Verifique:

 

Solução

a) e b) são consequências imediatas do Exemplo 6.

Deixamos a cargo do leitor a demonstração do resultado que aparece no

 

Exercício 15 da Seção 16.3.

(Sugestão: Proceda como no Exemplo 5.)

 

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