Um Curso de Cálculo, Volume 2
4.6 A Função Gama
Exercícios 4.5
1. Seja X uma variável aleatória contínua com função densidade de
probabilidade f definida e contínua em todo x real. Considere a variável aleatória 3 Y dada por Y = X . Determine a função densidade de probabilidade g de Y.
2. 2 Seja X uma variável aleatória com distribuição normal, X : N ( μ , σ ).
Dizemos que a variável aleatória Y tem distribuição lognormal com parâmetros μ 2 e σ se X = ln Y. Determine a função densidade de probabilidade de Y.
4.6 A Função Gama
Uma função que desempenha um papel muito importante em estatística é a função gama, que é dada por
Observe que a integral acima é imprópria em +∞ e, também, em 0 se 0 < α < 1. Veremos nos próximos exemplos que a integral é convergente para α > 0 e divergente para α ≤ 0. Primeiro, analisaremos o caso α ≥ 1; em seguida, o caso 0 < α < 1 e, por fim, α ≤ 0.
Exemplo 1
Mostre que, para α ≥ 1, a integral imprópria é convergente.
Solução
Para –x a –1 α < 1, f ( x ) = e x é contínua em [0, t], para todo t > 0. Logo, a
integral é imprópria apenas em +∞. Temos:
Exemplo 2
Mostre que, para 0 < α < 1, a integral imprópria é convergente.
Solução
Exemplo 3
Mostre que, para α ≤ 0, a integral imprópria é divergente.
Solução
Exemplo 4
a) Calcule Γ(1).
b) Mostre que Γ(α + 1) = α Γ(α), α > 0.
c) Calcule Γ(n), com n natural e diferente de zero.
Solução
A seguir, vamos destacar o resultado do item c do exemplo acima.
Para todo natural n, tem-se
n! = Γ(n + 1). Assim, a função gama nada mais é do que uma extensão do nosso já conhecido fatorial.
De nição. Para todo real α > –1 de nimos fatorial de α por
α! = Γ(α + 1).
Observação. A função fatorial da calculadora HP-48G é dada pela de nição acima. A tabela a seguir foi
construída com o auxílio dessa calculadora. Para acessar a função fatorial na HP-48G, tecle: MTH NXT (para
virar a página do menu do aplicativo MTH), em seguida pressione a tecla branca da letra A para ativar PROB
no menu do aplicativo. Achou o fatorial?
α – – – 0 0,4 0,45 0,5 0,6 1 2,5 3
0,99 0,9 0,1
α! 99,43 9,51 1,07 1 0,887 0,8856 0,886 0,893 1 3,323 6
Sugerimos ao leitor que, olhando a tabela acima, faça um esboço dos gráficos das funções gama e fatorial.
Exercícios 4.6