16.4 Máximos e Mínimos sobre Conjunto Compacto

de f sobre a reta (x,y) = t(h, k)). Verifique que t = 0 é ponto de máximo local de cada mas que (0, 0) não é ponto de máximo local de f.

 

20. Seja f (x, y) uma função que admita derivadas parciais em todo

ℝ 2 . Suponha que f admita um único ponto crítico (x , y ) e que

0 0

este ponto crítico seja ponto de máximo local. Pode-se concluir que (x , y ) é ponto de máximo global? 0 0

 

16.4 Máximos e Mínimos sobre Conjunto Compacto

Nas seções anteriores determinamos condições necessárias e condições suficientes para que um ponto de D seja um extremante local de f. Entretanto, f para muitos problemas que ocorrem na prática é importante determinar os extremantes em um subconjunto A de D . O teorema de Weierstrass, que é o f próximo teorema a ser enunciado, fornece-nos condições suficientes para a existência de tais extremantes.

Para enunciar o teorema de Weierstrass precisaremos antes definir conjunto

compacto.

Seja 2 A um subconjunto do ℝ ; dizemos que A é um conjunto limitado se A

estiver contido em alguma bola aberta de centro na origem. Dizemos, por outro lado, que A é um conjunto fechado se o seu complementar

for um conjunto aberto. Pois bem, dizemos que A é um

conjunto compacto se A for fechado e limitado.

 

Exemplo 1

 

Toda bola fechada 2 A de centro ( x , y ) e raio r > 0, A = {( x , y ) ∈ ℝ | ||

0 0

(x, y) – (x , y ) || ≤ r} é um conjunto compacto, pois é limitado e 0 0

fechado.

A é um conjunto limitado e seu complementar é um conjunto aberto.

 

Exemplo 2

 

A 2 2 = {( x , y ) ∈ ℝ | y ≥ x } é um conjunto fechado, mas não limitado,

logo, A não é compacto.

 

Exemplo 3

 

A 2 2 2 = {( x , y ) ∈ ℝ | x + 4 y = 1} é um conjunto limitado e fechado,

logo compacto.

 

O teorema de Weierstrass, que enunciaremos a seguir (para demonstração

veja Exercícios 9 a 12), conta-nos que se f for contínua no compacto A, então f assumirá em A valor máximo e valor mínimo.

 

Teorema (de Weierstrass). Se f (x, y) for contínua no compacto A, então existirão pontos (x 1 ,

y ) e (x , y ) em A tais que, para todo (x, y) em A, 1 2 2

 

f(x ,y ) ≤ f(x,y) ≤ f(x ,y ). 1 1 2 2

O teorema de Weierstrass garante-nos que se f for contínua em A e A

compacto, então existirão pontos (x , y ) e (x , y ) em A tais que f (x , y ) é 1 1 2 2 1 1 o valor mínimo e f (x , y ) é o valor máximo de f em A. Resta-nos, agora, o 2 2

problema de determinar tais pontos. Suponhamos que f admita derivadas parciais nos pontos interiores de A. Sabemos, então, que entre os pontos interiores de A os únicos com possibilidades de serem extremantes são os pontos críticos: a nossa primeira tarefa consiste, então, em determinar os pontos críticos de f que estão no interior de A. Em seguida, procuramos determinar os valores máximo e mínimo de f na fronteira de A. Comparamos, então, os valores que f assume nos pontos críticos com o valor máximo de f na fronteira de A: o maior destes valores será o valor máximo de f em A. De modo análogo, determina-se o valor mínimo.

 

Exemplo 1

 

Determine os extremantes de

 

Solução

Como f é contínua e A compacto, vamos proceder como dissemos

anteriormente.

 

Pontos críticos de f no interior de A

 

As soluções do sistema

são: (1, 1), (1, –1), (–1, 1) e (–1, –1). Segue que (1, 1) e (1, –1) são os

únicos pontos críticos no interior de A. Temos

 

Análise dos pontos de fronteira

 

fornece-nos os valores que f assume no segmento NP.

 

Assim, o valor máximo de f no segmento NP é 4 e o valor mínimo é 0. O

valor máximo é atingido nos pontos (2, –1) e (2, 2):

 

f (2, –1) = 4 e f (2, 2) = 4.

O valor mínimo é atingido nos pontos (2, –2) e (2, 1):

 

f (2, –2) = 0 e f (2, 1) = 0.

 

Raciocinando de forma análoga sobre os segmentos PQ, MQ e MN,

concluímos que o valor máximo de f sobre a fronteira é 4 e este valor é

atingido nos pontos (2, –1) e (2, 2); o valor mínimo de f sobre a fronteira

de A é 24 e este valor é atingido no ponto (1, –2).

 

Conclusão. Comparando os valores que f assume nos pontos críticos com

os valores máximo e mínimo de f na fronteira resulta: o valor máximo de

f em A é 4 e é atingido nos pontos (2, –1) e (2, 2); o valor mínimo de f em

A é 24 e é atingido nos pontos (1, 1) e (1, –2).

 

Exemplo 2

 

Determine os extremantes de 2 2 f ( x , y ) = xy em A = {( x , y ) ∈ ℝ | x + y ≤

2

1}.

 

Solução

f é contínua e A compacto; logo, f assume em A valor máximo e valor

mínimo. O único ponto crítico no interior de A é (0, 0), e este ponto

crítico não é extremante (verifique). Segue que os valores máximo e

mínimo de f, em A, são atingidos na fronteira de A. Os valores de f na

fronteira de A são fornecidos pela função

Exemplo 3

 

Determine os extremantes de f (x, y) = 2x + y em A dado por x ≥ 0, y ≥ 0,

x + y ≤ 4 e 3x + y ≤ 6.

 

Solução

f assume em A valor máximo e valor mínimo, pois f é contínua e A,

compacto. Como f não admite ponto crítico, os valores máximo e

mínimo são atingidos na fronteira de A.

Como f é uma função afim e a fronteira de A é formada por segmentos de

retas (A é um polígono), resulta que entre os vértices de A existe pelo

menos um ponto de máximo e pelo menos um ponto de mínimo.

Calculando os valores de f nos vértices encontramos:

 

f (1, 3) = 5 valor máximo e f (0, 0) = 0 valor mínimo.

 

Exercícios 16.4

 

1. Estude a função dada com relação a máximo e mínimo no

conjunto dado.

2. 2 2 Determine ( x , y ), com x + 4 y ≤ 1, que maximiza a soma 2x +

 

y.

 

3. 2 2 Suponha que T (x,y)= 4 − x − y represente uma distribuição de

temperatura no plano. Seja A = {(x,y) 2 ∈ ℝ | x ≥ 0, y ≥ x e 2y +

 

x ≤ 4}. Determine o ponto de A de menor temperatura.

4. Determine o valor máximo de f (x,y) = x + 5 y em que x e y estão

sujeitos às restrições:

 

5x + 6y ≤ 30, 3x + 2y ≤ 12, x ≥ 0 e y ≥ 0.

 

5. Uma determinada empresa está interessada em maximizar o lucro

mensal proveniente de dois de seus produtos, designados I e II. Para fabricar estes produtos ela utiliza um tipo de máquina que tem uma disponibilidade de 200 máquinas-hora por mês e um tipo de mão de obra com uma disponibilidade de 240 homens-hora por mês. Para se produzir uma unidade do produto I utilizam-se 5 horas de máquina e 10 horas de mão de obra, enquanto para o produto II utilizam-se 4 horas de máquina e 4 horas de mão de obra. Espera-se uma demanda de 20 unidades por mês do produto I e 45 do produto II. Calcula-se um lucro, por unidade, de R$ 10,00 para o produto I e R$ 6,00 para o II. Determine as quantidades de cada produto que deverão ser fabricadas por mês, para o lucro mensal ser máximo.

 

6. 2 Determine ( x , y ) que maximiza (minimiza) a função f ( x , y ) = x

+ 2 2 y , com x e y sujeitos às restrições:

 

7. Dê exemplo de uma função contínua num conjunto limitado A ⊂

ℝ 2 , mas que não assuma em A valor máximo.

8. 2 2 Considere a forma quadrática Q(x, y) = ax + 2bxy + cy . Sejam

Q(x 1 , y 1 ) e Q (x 2 , y 2 ) os valores mínimo e máximo de Q em A = {(x,y) = 2 2 2 ∈ ℝ | x + y = 1}. Prove:

 

(i) se Q (x , y ) > 0, então Q (x, y ) > 0 para todo (x, y) ≠ (0, 0). 1 1

 

(ii) se Q (x , y ) < 0 então Q (x, y ) < 0 para todo (x, y ) ≠ (0, 0). 2 2

 

9. 2 Suponha A um subconjunto fechado do ℝ e (x , y ) um ponto

0 0

de acumulação de A. Prove que (x , y ) ∈ A. 0 0

 

10. Prove que se f (x, y) for contínua em (x 0 , y 0 ) ∈ D f , então f será

localmente limitada em (x , y ) (f localmente limitada em (x , 0 0 0 y 0 ) significa que existem α e β e uma bola aberta B de centro (x 0 , y ) tais que α < f (x, y) < β para todo (x, y) em B ∩ D ). 0 f

 

11. 2 Seja R , R , ..., R , ... uma sequência de retângulos em ℝ , em

1 2 n

que

 

em que são os únicos reais tais que