Um Curso de Cálculo, Volume 2
7.3 Operações com Funções de uma Variável Real a Valores em ℝn
a) Determine o domínio de F.
b) Calcule .
3. Determine o domínio.
7.3 Operações com Funções de uma Variável Real a
Valores em
Seja F : A → uma função de uma variável real a valores em ; então existem, e são únicas, n funções a valores reais F : A → R, i = 1, 2, 3, ..., n, i tais que, qualquer que seja t ∊ A, Tais funções são denominadas funções componentes de F. Escreveremos F = (F , F , ..., F ) para indicar a função cujas componentes são F , F , ..., F . 1 2 n 1 2 n
Exemplo 1
Seja . As componentes de F são as funções
F , F , F definidas em e dadas, respectivamente, por x = cos t, y = 1 2 3
sen t e z = t.
Exemplo 2
Seja . As componentes de F são as
funções F , F , F , F dadas por 1 2 3 4
Sejam F, G : A → duas funções de uma variável real a valores em , f :
A → uma função a valores reais e k uma constante. Definimos:
a) a função F + G : A → dada por
(F + G)(t) = F(t)+ G(t)
denomina-se soma de F e G.
b) a função kF : A → dada por
(kF)(t) = kF(t)
é o produto de F pela constante k. c) a função f · F : A → dada por
(f·F)(t) = f(t)F(t)
é o produto de F pela função escalar f.
d) a função F · G : A → dada por
(F · G)(t) = F(t)·G(t)
em que é o
produto escalar de F e G. Estamos supondo aqui
e) Seja n = 3. A função F ∧ G: A → dada por
denomina-se produto vetorial de F e G, em que
(Veja o Exercício 11 da Seção 6.3.)
Exemplo 3
Sejam as funções F, G e f, definidas em , e dadas por F(t) = (cos 3t, sen
2 2 3 –2t t , t ), G ( t ) = (3, t , arctg t ) e f ( t ) = e . Temos
a) o produto escalar de F e G é a função H dada por
b) o produto de F pela função escalar f é a função com valores em
dada por
c) o produto vetorial de F e G é a função a valores em dada por
Uma função de uma variável real a valores em será frequentemente
indicada com a notação vetorial .
Exemplo 4
Sejam as funções dadas por .
Calcule 4. Sejam três funções definidas em A ⊂ e a valores em .
Solução
Exercícios 7.3
1. Sejam . Calcule
2. Calcule , em que .
3. Calcule em que
.