Um Curso de Cálculo, Volume 2
3.3 Integrais Impróprias: Continuação
O objetivo deste parágrafo é estender o conceito de integral para função definida e não limitada num intervalo de extremos a e b, com a e b reais.
De nição 1. Seja f não limitada em ]a, b] e integrável em [t, b] para todo t em ]a, b[. De nimos
desde que o limite exista e seja nito. O número denomina-se integral imprópria de f em
[a, b]. Se o limite for +∞ ou –∞, continuaremos a nos referir a como uma integral
imprópria e escreveremos conforme o caso. Se
ocorrer um destes casos ou se o limite não existir, diremos que a integral imprópria é divergente. Se o
limite for nito, diremos que a integral imprópria é convergente.
Já observamos que uma condição necessária para uma função f admitir
integral de Riemann num intervalo [a, b] é que f seja limitada em [a, b]. Deste modo, se f não for limitada em [a, b], f não poderá admitir, neste intervalo, integral de Riemann; entretanto, poderá admitir integral imprópria.
Exemplo
Calcule
Solução
é não limitada em ]0, 1] e integrável (segundo Riemann) em
[t, 1] para 0 < t < 1; de acordo com a definição anterior,
ou seja,
Exercícios 3.3
1. Calcule
2. Suponha f não limitada em [a, b[ e integrável em [a, t] para a < t
< b. Defina
3. Calcule
4. Suponha f não limitada e contínua nos intervalos [a, c[ e ]c, b].
Defina
5. Calcule