16.3 Uma Condição Suficiente para um Ponto Crítico Ser Extremante Local

5. 4 4 x + y + 4x + 4y.

 

 

6. 5 5 x + y – 5x – 5y.

 

16.3 Uma Condição Suficiente para um Ponto Crítico Ser

Extremante Local

 

Seja 2 f ( x , y ) de classe C . A função H dada por

 

denomina-se hessiano de f. Observe que

O próximo teorema fornece-nos uma condição suficiente para um ponto

 

crítico de f ser extremante local de f.

 

Teorema. 2 Sejam f ( x , y ) de classe C e (x , y ) um ponto interior de D . Suponhamos que (x ,

0 0 f 0

y ) seja ponto crítico de f. Então 0

 

Demonstração

 

Veja Exemplos 3, 4 e 5 da Seção 16.6.

 

Exemplo 1

 

Seja 3 3 f ( x , y ) = x + y – 3x + 4. Os pontos críticos de f são: (1, 1), (1, –1),

(–1, 1) e (–1, –1). Temos:

Então:

 

é ponto de mínimo

local. Note que (1, 1) não é ponto de mínimo global, pois f(–3, 0) <

f(1,1).

 

é ponto de

máximo local; entre tanto, (–1, –1) não é ponto de máximo global, pois

f(4,0) > f(–1, –1). Como H (–1, 1) < 0 e H (1, –1) < 0, segue que (–1, 1) e

(1, –1) não são extremantes, são pontos de sela.

 

Exemplo 2

 

Seja 4 4 f ( x , y ) = 3 x + 2 y . O único ponto crítico de f é (0, 0) e temos H (0,

0) = 0; logo, o teorema não nos fornece informação sobre este ponto

crítico. Trabalhando diretamente com a função verifica-se sem

dificuldade que (0, 0) é ponto de mínimo global.

 

Exemplo 3

 

Seja 5 5 f ( x , y ) = x + 2 y . O único ponto crítico é (0, 0) e H (0, 0) = 0.

Como 5 x = 0 não é extremante local de f ( x , 0) = x , resulta que (0, 0)

não é extremante local de f.

 

Exemplo 4

 

Deseja-se construir uma caixa, sem tampa, com a forma de um

paralelepípedoretângulo e com 1 m 3 de volume. O material a ser

utilizado nas laterais custa o triplo do que será utilizado no fundo.

Determine as dimensões da caixa que minimiza o custo do material.

 

Solução

 

O problema consiste em minimizar

 

ou

 

Temos

(verifique) resulta que é ponto de mínimo local. Pela natureza

do problema, é razoável esperar que este ponto seja de mínimo global.

As dimensões que minimizam o custo são:

(Uma forma elegante de justificar que é ponto de mínimo

global é a seguinte: para cada a > 0, seja h (a) o valor mínimo de

verifique, então, que o valor mínimo de h (a) é f

Descreva geometricamente este processo.)

 

Exercícios 16.3

 

1. Estude com relação a máximos e mínimos locais a função f (x, y)

=

2. 2 2 Seja f ( x , y ) = ax + by + cxy + dx + ey + l, em que a, b, c, d, e e l

são constantes. Prove que se (x 0 , y 0 ) for extremante local de f, então será extremante global.

 

(Sugestão: Observe que o gráfico de g(t) = f(x + ht, y + kt) (h e 0 0 k constantes) é uma parábola.)

 

3. Estude com relação a extremantes globais a função f (x, y) =

 

(Sugestão: Utilize o Exercício 2.)

4. Determine o ponto do plano x + 2y – z = 4 que se encontra mais

 

próximo da origem.

 

5. Método dos mínimos quadrados. Dados n pares de números (a 1 ,

b ), (a , b ),...,(a , b ), com n ≥ 3, em geral não existirá uma 1 2 2 n n

função afim f(x) = αx + β cujo gráfico passe por todos os n pontos. Entretanto, podemos determinar f de modo que a soma dos quadrados dos erros f(a i )–b i seja mínima. Pois bem, determine α e β para que a soma

seja mínima.

 

 

6. Determine, pelo método dos mínimos quadrados, a reta que

melhor se ajusta aos dados:

 

a) (1, 3), (2, 7) e (3, 8)

 

b) (0, 1), (1, 3), (2, 3) e (3, 4)

 

7. Determinado produto apresenta uma demanda y (em milhares)

quando o preço, por unidade, é x (em R$). Foram observados os seguintes dados:

 

A tabela nos diz que ao preço unitário de 5 reais a demanda foi de 100.000 unidades; ao preço unitário de 6 reais a demanda foi de 98.000 unidades etc.

 

a) Determine, pelo método dos mínimos quadrados, a

reta que melhor se ajusta aos dados observados. b) Utilizando a reta encontrada no item a), faça uma

previsão para a demanda quando o preço, por unidade, for 10 reais.

 

8. Considere as retas reversas r e s de equações

 

(x, y, z) = (0, 0, 2) + λ(1, 2, 0), λ ∈ ℝ

 

e

 

(x, y, z) = (0, 0, 4) + μ(1, 1, 1), μ ∈ ℝ

 

respectivamente. Determine P e Q, com P ∈ r e Q ∈ s, de modo que a distância de P a Q seja a menor possível.

 

9. Duas partículas P 1 e P 2 deslocam-se no espaço com velocidades

constantes respectivamente. No instante t =

0 a P 1 encontra-se na posição (1, 1, 3). Sabese que a trajetória descrita por P passa pelo ponto (1, 1, 0). Qual deverá ser a 2

posição de P 2 no instante t = 0 para que a distância mínima entre elas seja a menor possível?

 

10. Determinada empresa produz dois produtos cujas quantidades são

indicadas por x e y. Tais produtos são oferecidos ao mercado consumidor a preços unitários p 1 e p 2 , respectivamente, que dependem de x e y conforme equações: p = 120 – 2x e p = 200 1 2 – y. O custo total da empresa para produzir e vender quantidades x

e 2 2 y dos produtos é dado por C = x + 2 y + 2xy. Admitindo que toda produção da empresa seja absorvida pelo mercado, determine a produção que maximiza o lucro.

 

11. Para produzir determinado produto cuja quantidade é

representada por z, uma empresa utiliza dois fatores de produção (insumos) cujas quantidades serão indicadas por x e y. Os preços unitários dos fatores de produção são, respectivamente, 2 e 1. O produto será oferecido ao mercado consumidor a um preço unitário igual a 5. A função de produção da empresa é dada por z = 900– 2 2 x – y +32x + 41y. Determine a produção que maximiza o lucro.

 

12. Considere o sistema de partículas P , P , ..., P , localizadas nos 1 2 n

pontos (x , y ) , (x , y ) , ..., (x , y ), e de massas m , m , ..., 1 1 2 2 n n 1 2 m . Seja N = (x, y). Determine N para que o momento de inércia n

do sistema, em relação a N, seja mínimo. Conclua que o N encontrado é o centro de massa do sistema.

 

(Observação. O momento de inércia de P em relação a N é o i produto de m i pelo quadrado da distância de P i a N; o momento de inércia do sistema em relação a N é a soma dos momentos de inércia, em relação a N, das partículas que compõem o sistema.)

 

13. Determine o ponto do plano 3x + 2y + z = 12 cuja soma dos

quadrados das distâncias a (0, 0, 0) e (1, 1, 1) seja mínima.

14. 2 2 Considere a função f ( x , y ) = 1– x – y , x ≥ 0 e y ≥ 0. Determine o

plano tangente ao gráfico de f que forma com os planos coordenados tetraedro de volume mínimo.

 

15. 2 Seja f ( x , y , z ) de classe C e seja (x , y , z ) um ponto interior

0 0 0

de D . Suponhamos que (x , y , z ) seja ponto crítico de f. f 0 0 0 Sejam H (x, y, z ) e H (x, y, z ) dadas por 1

 

Pode ser provado (veja 16.6) que:

 

Estude com relação a máximos e mínimos locais a função f (x, y, z) =

16. 2 Seja f ( x , y , z ) de classe C e seja (x , y , z ) ponto interior de

0 0 0

D . Suponha que (x , y , z ) seja ponto crítico de f. Prove: f 0 0 0

 

17. 2 2 2 A função f ( x , y , z ) = x + y – z –5x + 2y – z + 8 admite

extremante local? Por quê?

 

18. 2 2 Seja f ( x , y ) definida e de classe C no aberto A de ℝ . Suponha

que, para todo x ∈ A,

 

Prove que f não admite ponto de máximo local.

 

19. 2 4 2 Seja f ( x , y ) = x ( y – x ) e considere, para cada

(observe que fornece os valores