16.5 O Método dos Multiplicadores de Lagrange para Determinação de Candidatos a Extremantes Locais Condicionados

para todo n ℕ, n ≠ 0.

 

12. 2 Seja A um subconjunto fechado e limitado do ℝ e seja f : A → ℝ

contínua. Prove que f é limitada em A.

(Sugestão: Suponha que f não seja limitada e construa uma sequência de retângulos como a do Exercício 11, tal que f não seja limitada em A ⋂ R , n para n = 1, 2, ...; conclua que f não será localmente limitada em

o que contradiz a hipótese de f ser contínua em .)

 

13. 2 ( Teorema de Weierstrass .) Seja A ⊂ ℝ , A compacto, e seja f : A

→ ℝ contínua. Prove que f assume em A valor máximo e valor mínimo.

(Sugestão: Veja Apêndice B.4, Vol. 1.)

 

16.5 O Método dos Multiplicadores de Lagrange para

Determinação de Candidatos a Extremantes Locais Condicionados

O objetivo desta seção é o estudo de máximos e mínimos de uma função sobre conjuntos do tipo:

 

e

 

Problema 1

Seja f (x, y) diferenciável no aberto A e seja B = {(x,y) ∈ A | g(x,y) = 0},

em que 1 g é suposta de classe C em A; suporemos, também,

em B. Estamos interessados em determinar uma

condição necessária para que seja um extremante local da f em B. A

figura que apresentamos a seguir, onde estão desenhadas algumas curvas

de nível de f, ajudar-nos-á a chegar, geometricamente, a tal condição:

 

Para efeito de raciocínio, suponhamos e que z cresce no

sentido indicado na figura (c < c < c < z ). Vamos então pensar 1 2 3 0

geometricamente: se (x , y ) é um extremante local, é razoável esperar 0 0

que a curva de nível de f que passa por este ponto seja “tangente”, neste

ponto, à restrição g (x, y) = 0 isto é, os vetores ∇ f (x , y ) e ∇ g (x , 0 0 0

y ) devem ser paralelos e como ∇ g (x , y ) ≠ (0,0) deverá existir um 0 0 0

λ tal que 0

Geometricamente, chegamos à seguinte condição necessária: uma

condição necessária para que (x , y ) ∈ B seja um extremante local de 0 0

f em B é que (x , y ) torne compatível o sistema 0 0

 

Este processo de se determinar candidatos a extremantes locais é

conhecido como método dos multiplicadores de Lagrange; os λ que

tornem tal sistema compatível denominam-se multiplicadores de

Lagrange para o problema em questão.

 

Teorema 1. Seja f (x, y) diferenciável no aberto A e seja B = {(x, y) ∈ A | g(x, y) = 0}, em que g é

suposta de classe 1 C em A, e ∇g(x, y) ≠ (0,0), para todo (x, y) ∈ B. Uma condição necessária para

que (x , y ) ∈ B seja extremante local de f em B é que exista um real λ tal que 0 0 0

Demonstração

Suponhamos que (x , y ) ∈ B seja um ponto de máximo local de f em B; isto 0 0

significa que existe uma bola aberta V de centro (x , y ) tal que 0 0

 

para todo

Consideremos, agora, uma curva γ diferenciável num intervalo aberto I tal

que γ (t ) = (x , y ), para todo t ∈ I (a 0 0 0

existência de uma tal curva é garantida pelo teorema das funções implícitas). Da continuidade de γ segue que existe δ > 0 tal que

 

Daí,

 

para todo assim, t é ponto de máximo local de 0

e como t é ponto interior a I, resulta ou seja, 0

Então, sendo f (x, y) diferenciável no aberto A e B = {(x, y) ∈ A | g(x, y) =

0}, em que 1 g é suposta de classe C em A e ∇ g(x, y) ≠ (0, 0) em B, os candidatos a extremantes locais de f em B são os (x, y) ∈ A que tornam compatível o sistema

 

Estabelecemos assim uma condição necessária para um ponto (x , y ) ser 0 0

um extremante local de f em B. Trabalhando diretamente com a função o aluno deverá decidir quais dos candidatos encontrados são realmente extremantes locais.

 

Observação. 1 Se no teorema 1 acrescentarmos as hipóteses f de classe C e ∇f (x , y ) ≠ (0, 0),

0 0

então poderemos a rmar que a curva de nível de f que passa pelo ponto (x , y ) tangencia, neste 0 0

ponto, a restrição g (x, y) = 0. Entretanto, nada podemos a rmar com relação à tangência se ∇ f(x 0 ,

y ) = (0, 0) (veja Exercícios 1 (f) e 1 (g)). 0

 

Exemplo 1 Determine os extremantes de f (x, y) = 3x + 2y com a restrição x

2 2 + y = 1.

 

Solução

Seja 2 2 g ( x , y ) = x + y – 1;.o que queremos são os extremantes de f em B

= {( 2 1 x , y ) ∈ ℝ | g ( x , y ) = 0}. Como g é de classe C e ∇g(x, y) = (2x,

2y) ≠ (0, 0) em B, resulta que os candidatos a extremantes locais são os

(x, y) que tornam compatível o sistema

ou

 

que é equivalente a

 

Como λ ≠ 0, das duas primeiras equações resultam

 

Substituindo estes valores em 2 2 x + y = 1, vem

 

Exemplo 2

 

Estude, com relação a máximo e mínimo, a função 3 f ( x , y ) = y + x com

a restrição 3 y – x = 0.

Solução

 

Como 1 2 g é de classe C e ∇ g ( x , y ) = (–3 x ,1) ≠ (0, 0) em B, resulta que

os candidatos a extremantes locais são os (x, y) que tornam compatível o

sistema

 

ou

 

O único candidato é (0, 0) que não é extremante de f em B, pois f (x, y) >

0 para x > 0 e y > 0 e f (x, y) < 0 para x < 0 e y < 0.

 

Exemplo 3

 

Encontre o ponto da curva xy = 1, x > 0 e y > 0 que se encontra mais

próximo da origem.

Solução

Trata-se aqui de se determinar o mínimo de 2 2 f ( x , y ) = x + y com a

restrição xy = 1 (f (x, y) é o quadrado da distância de (x, y) a (0, 0)).

 

O único candidato é (1, 1) e, por inspeção, verifica-se que (1, 1) é ponto

de mínimo. Assim, (1, 1) é o ponto da curva xy = 1, x > 0 e y > 0 que se

encontra mais próximo da origem.

 

Exemplo 4

 

Determine a reta tangente à curva que forma

com os eixos triângulo de área mínima.

 

Solução

Seja (a, b)(a > 0 e b > 0) um ponto da elipse A equação da

reta tangente em (a, b) é:

ou

 

A área do triângulo OMN é: O problema consiste em minimizar

com a restrição

 

Das duas primeiras equações segue b = 2a. Substituindo na última

equação obtemos A equação da reta que resolve o problema é: Problema 2

 

Seja 3 f ( x , y , z ) diferenciável no aberto A ⊂ ℝ e seja B = {(x, y, z)) A | g

( 1 x , y , z ) = 0}, em que g é suposta de classe C em A e ∇ g (x, y, z) ≠ (0,

0, 0) em B. Qual uma condição necessária para que (x , y , z ) ∈ B 0 0 0

seja extremante local da f em B? Raciocinando geometricamente, como

no Problema 1, chega-se à condição: a condição necessária para (x , y , 0 0

z ) ∈ B ser extremante local de f em B é que exista λ tal que 0 0

 

Deixamos para o leitor a prova desta afirmação. Deste modo, os

candidatos a extremantes locais de f em B são os (x, y, z) ∈ A que tornam

compatível o sistema

 

Exemplo 5

 

Determine o ponto do elipsoide 2 2 2 x + 2 y + 3 z = 1 cuja soma das

coordenadas seja máxima.

 

Solução

Queremos maximizar 2 2 f ( x , y , z ) = x + y + z com a restrição x + 2 y + 3

z 2 = 1.

Como a λ deve ser diferente de zero, da 1 equação tiramos:

Substituindo na última equação obtemos:

 

Os candidatos a extremantes são:

 

Da compacidade de B, da continuidade de f e de f (X ) > f (X ) segue 1 2

que o ponto procurado é

 

O próximo teorema fornece-nos uma condição necessária para (x , y , z ) 0 0 0

ser um extremante local de f (x, y, z) com as restrições g (x, y, z) = 0 e h (x, y, z) = 0. Para a demonstração de tal teorema vamos precisar do seguinte resultado (cuja prova fica para o leitor): sejam 3 vetores do ℝ tais que

então existem reais λ e λ tais que 1 2

 

Teorema 2. 3 Seja f ( x , y , z ) diferenciável no aberto A ⊂ ℝ e seja B = {(x, y, z) ∈ A | g (x, y, z) = 0

e 1 h ( x , y , z ) = 0}, em que g e h são supostas de classe C em A e

em B. Nestas condições, uma condição necessária para que (x , y , z ) ∈ B seja extremante local 0 0 0

de f em B é que existam reais λ e λ tais que 1 2

Demonstração

Suponhamos que (x , y , z ) seja ponto de máximo local de f em B, o que 0 0 0

significa que existe uma bola aberta V de centro (x , y , z ) tal que, para todo 0 0 0 (x, y, z) ∈ B ⋂ V,

 

(como A é aberto, podemos supor V ⊂ A).Consideremos uma curva diferenciável 3 γ : I → ℝ , I intervalo aberto, tal que

para todo t em I (a existência de uma tal

curva é garantida pelo teorema das funções implícitas). Da continuidade de γ, segue que existe δ > 0 tal que

 

Assim, para todo

Exemplo 6

 

Determine os pontos mais afastados da origem e cujas coordenadas estão

sujeitas às restrições

 

Solução

Trata-se de determinar os pontos que maximizam a função f (x, y, z) = x

2 2 2 + y + z (f (x, y, z) é o quadrado da distância de (x, y, z) a (0, 0, 0))

com as restrições g (x, y, z) = 0 e h (x, y, z) = 0, em que g (x, y, z) = x + y

+ 2 2 2 z – 1 e h ( x , y , z ) = x + 4 y + z – 4. Temos:

(verifique). Estamos indicando por B o conjunto

Observe que B é compacto. Os

candidatos a extremantes locais são os (x, y, z) que tornam compatível o

sistema

Segue que são outros

 

candidatos a extremantes.

Como f é contínua e B compacto, basta comparar os valores de f nos

pontos encontrados:

 

origem. Por outro lado, (0, 1, 0) é o mais próximo da origem.

 

Exercícios 16.5

 

1. Estude com relação a máximos e mínimos a função dada com as

restrições dadas.

 

a 2 2 ) f ( x , y ) = 3 x + y e x + 2 y = 1

 

b 2 2 ) f ( x , y ) = 3 x + y e x + 2 y ≤ 1

 

c 2 2 ) f ( x , y ) = x + 2 y e 3x + y = 1

d 2 2 ) f ( x , y ) = x + 4 y e xy = 1, x > 0 e y > 0

 

e 2 2 ) f ( x , y ) = xy e x + 4 y = 8

 

f 2 2 2 ) f ( x , y ) = x + 2 xy + y e x + 2y – 1 = 0

 

g 2 2 2 2 ) f ( x , y ) = x – 2 xy + y e x + y = 1

 

h 2 2 2 2 ) f ( x , y ) = x – 2 y e x + y – 2x = 0

 

i 3 3 ) f ( x , y ) = x + y – 3x – 3y e x + 2y = 3

 

j 2 2 2 2 ) f ( x , y ) = x + 2 xy + 3 y e x + 2 y = 1

 

2. 2 2 Determine a curva de nível de f ( x , y ) = x + 16 y que seja

tangente à curva xy = 1, x > 0 e y > 0. Qual o ponto de tangência?

 

3. Determine o ponto da reta x + 2y = 1 cujo produto das

coordenadas seja máximo.

 

4. 2 Determine o ponto da parábola y = x mais próximo de (14, 1).

 

5. 2 2 2 Determine o ponto do elipsoide x + 4 y + z = 1 que maximiza

a soma x + 2y + z.

6. 2 2 Determine a superfície de nível da função f ( x , y , z ) = x + y +

2 2 z que seja tangente ao plano x + 2y + 3z = 4. Qual o ponto de tangência?

 

7. Ache o valor máximo e o valor mínimo da função f (x, y, z) = x +

2 2 2 2 y + z com a restrição x + 2 y + z = 4.

 

8. Determine o ponto do plano x + 2y – 3z = 4 mais próximo da

origem.

 

9. Determine o ponto da reta

 

que se encontra mais próximo da origem.

 

10. 2 2 Maximize f ( x , y , z ) = x + 2 y + 3 z sujeita às restrições x + y +

z 2 = 4 e x + y + z = 1.

 

11. 2 2 Encontre os pontos da elipse x + xy + y = 3 (de centro na

origem) mais próximos e os mais afastados da origem. Desenhe a elipse.

 

12. 2 2 Encontre o ponto da curva x – 2 xy + y – 2x – 2y + 1 = 0 mais

próximo da origem.

13. 2 2 Encontre os pontos da curva x – 6 xy + 7 y + 80 = 0 mais

próximos da origem. Desenhe a curva.

 

14. Determine o ponto da superfície xyz = 1, x > 0 e y > 0 que se

encontra mais próximo da origem.

 

15. Pede-se determinar três números positivos cuja soma seja 36 e

cujo produto seja máximo.

 

16. Determine, entre os triângulos de mesmo perímetro, o de área

máxima.

 

(Sugestão: Utilize a fórmula que fornece

a área do triângulo em função dos lados a, b e c, em que p é o semiperímetro.)

 

17. Verifique que é o valor máximo de xyz, x ≥ 0, y ≥ 0, e z ≥ 0,

 

com a restrição x + y + z = c (c > 0). Conclua que a média geométrica de três números positivos é sempre menor ou igual à

 

média aritmética destes números.

18. Determine, entre os paralelepípedos-retângulos de mesmo

volume, o de área máxima.

 

19. 3 Deseja-se construir uma caixa, sem tampa, com 1 m de volume

e com a forma de um paralelepípedo-retângulo. O material a ser utilizado na confecção do fundo custa o dobro do que será utilizado nas laterais. Determinar as dimensões da caixa que minimiza o custo do material.

 

20. Deseja-se construir um paralelepípedo-retângulo com área total

100 cm 2 . Determine as dimensões para o volume ser máximo.

 

21. Determine o paralelepípedo-retângulo de volume máximo, com

arestas paralelas aos eixos, inscrito no elipsoide

22. Determine o paralelepípedo-retângulo de volume máximo, com

 

três de suas faces nos planos coordenados, contido no tetraedro {(x,y,z) ∈ ℝ | x + 2y + 3z ≥ 12, x ≥ 0, y ≥ 0 e z ≥ 0}.

 

23. A temperatura T em qualquer ponto (x, y, z) do espaço é dada por

T 2 2 = 100 x yz . Determine a temperatura máxima sobre a esfera x

+ 2 2 y + z = ≤ 4. Qual a temperatura mínima?

 

24. Determine o plano tangente à superfície

que forma com os planos

coordenados tetraedro de volume mínimo.

 

25. 2 2 Determine P na elipse x + 2 y = 6 e Q na reta x + y = 4 de modo

que a distância de P a Q seja a menor possível.

 

26. 2 2 Considere a forma quadrática Q ( x, y ) = ax + 2 bxy + cy em que

a, b, c são constantes não simultaneamente nulas. Seja g(x, y) = x 2 2 + y –1. Suponha que (x , y , λ ) seja solução do sistema

0 0 0

 

Prove que Q (x , y ) = λ . 0 0 0

(Sugestão: Como Q é homogênea de grau 2, utilize a relação de Euler. Veja Exercício 26 da Seção 12.1.)

 

27. Sejam Q (x, y) e g (x, y) como no exercício anterior. Suponha que

os multiplicadores de Lagrange associados ao problema

 

sejam estritamente positivos. Prove que Q (x, y) > 0, para todo (x, y) ≠ (0, 0).

 

(Sugestão: Utilize o Exercício 26.)

 

28. Prove que os multiplicadores de Lagrange associados ao

problema do exercício anterior são as raízes da equação

 

29. Sejam Q (x, y) e g (x, y) como no Exercício 26. Sejam λ e λ , λ 1 2 1

≤ λ , as raízes da equação 2