7.7 Comprimento de Curva

Seja (t) uma força, dependendo do tempo t, que atua sobre uma

4. partícula entre os instantes t 1 e t 2 . Supondo integrável em [t 1 ,

t ], o vetor 2

 

denomina-se impulso de no intervalo de tempo [t , t ]. Calcule 1 2 o impulso de no intervalo de tempo dado.

 

5. Suponha que (t) é a força resultante que atua, no instante t,

sobre uma partícula de massa m que se move no espaço. Mostre que o impulso de no intervalo de tempo [t , t ] é igual à 1 2 variação da quantidade de movimento, isto é,

 

em que são, respectivamente, as velocidades nos instantes

t e t . (Sugestão: pela lei de Newton 1 2

 

7.7 Comprimento de Curva

Seja I um intervalo em . Uma curva γ em , definida em I, é uma função γ : I → .

Uma curva em , definida em I, nada mais é, então, do que uma função de

uma variável real a valores em . Segue que tudo o que dissemos

anteriormente aplica-se às curvas.

 

Exemplo 1

 

Seja , uma curva em .

a) Desenhe a imagem de γ.

b) Determine uma curva δ : R → tal que γ ≠ δ e Im γ = Im δ.

 

Solução

a)

 

A imagem de γ coincide com a do gráfico de y = arctg x.

 

b)

 

Observação. n n Sejam A ∊ R e γ : I → ℝ tais que Im γ = A; é comum referir-se a γ como uma

parametrização do conjunto A. Assim, toda curva γ pode ser olhada como uma parametrização de sua

imagem. O exemplo anterior mostra-nos que um mesmo conjunto pode admitir parametrizações

diferentes.

Nosso objetivo, a seguir, é definir comprimento de curva em . Para

motivar tal definição, trabalharemos com uma curva em . Seja, então, γ :[a, b] → uma curva em . Sendo uma partição qualquer de [a, b], indicaremos por L(γ, P) o comprimento da poligonal de vértices :

 

Tomando-se, por exemplo, será o

comprimento da poligonal de vértices

 

Suponhamos γ = (γ , γ ) derivável em [a, b] e seja P: a = t < t <...< t 1 2 0 1 n

= b uma partição qualquer de [a, b]. Temos

 

Pelo teorema do valor médio, existem em ]t , t [ tais que i –1 i

ou seja,

 

 

Substituindo em vem:

 

Daí

 

Supondo γ′ contínua em [a, b], será, também,

contínua em [a, b] e, portanto, integrável neste intervalo:

 

Embora não seja soma de Riemann da função , (por quê?) é razoável esperar que, para máx Δt → 0, L(γ, P) tenda a t (veja o Exercício 12). Nada mais natural, então, do que a seguinte definição.

 

De nição. n Seja γ :[ a, b ] → ℝ , uma curva com derivada contínua em [a, b]. De nimos o

comprimento L(γ) da curva γ por

Observação. n A de nição acima estende-se para uma curva γ :[ a, b ] → ℝ qualquer, com ||γ′(t)||

 

integrável em [a, b].

 

Exemplo 2

 

Calcule o comprimento da curva γ(t) = (cos t, sen t, t), t ε [0, 2π].

 

Solução

 

O comprimento da curva γ é

 

Seja γ uma curva em dada por

 

De segue e, então, o

 

comprimento de γ é: . Se γ for uma curva em

 

dada por

seu comprimento será:

 

Suponhamos que uma partícula se desloca no espaço de modo que no

instante t, t ε [0, b[, a sua posição seja dada, em forma paramétrica, por x

= x(t), y = y(t) e z = z(t), com e contínuas. Então, o espaço s =

s(t) percorrido pela partícula entre os instantes 0 e t nada mais é do que o

comprimento da curva descrita pela partícula entre esses instantes, ou

seja,

 

Exemplo 3

 

Uma partícula desloca-se no espaço com equações paramétricas x = x(t),

y = y(t) e z = z(t). Sabe-se que, para todo t,

 

Sabe-se, ainda, que e que no instante t = 0 a partícula

 

encontra-se na origem.

a) Qual a posição da partícula no instante t?

b) Qual a velocidade escalar da partícula?

c) Determine o instante T em que a partícula volta a tocar o plano xy.

d) Qual o espaço percorrido pela partícula entre os instantes 0 e T? 1. Calcule o comprimento da curva dada.

Solução

a) ; de x = 0 para t = 0, k = 0 e, então, . 1

De forma análoga,

; das condições z = 0

 

para 2 t = 0 e , resulta z = – t + 2t. Assim, no instante t a

posição da partícula é

 

b) , ou seja, .

 

c 2 ) z = 0 ⇔ – t + 2t = 0 ⇔ t = 0 ou t = 2. Portanto, T = 2.

d 2 ) ; fazendo 2 – t = t g u , dt = –sec u du, u =

arctg 2 para t = 0 e u = 0 para t = 2. Fazendo θ = arctg 2

 

Integrando por partes, e levando em conta que tg θ = 2 e sec θ = ,

vem

 

Exercícios 7.7

2. Dê exemplos de curvas γ e δ tais que Im γ = Im δ, mas que seus

comprimentos sejam diferentes.

 

3. Sejam duas curvas com derivadas

contínuas. Suponha que exista g :[c, d] → [a, b], com derivada contínua e tal que g′(u) > 0 em [c, d]. Suponha, ainda, g(c) = a, g(d) = b e, para todo u ε [c, d], δ(u) = γ(g(u)). Prove:

 

a) Im γ = Im δ

 

b) L(γ) = L(δ)

 

Observação. Se as curvas δ e γ estiverem relacionadas do modo acima descrito, então dizemos que

a curva δ é obtida de γ pela mudança de parâmetro t = g(u) que conserva a orientação.

 

4. Dizemos que uma curva , com derivada contínua,

está parametrizada pelo comprimento de arco se ||δ′(s)|| = 1, para todo s ε [α, β]. Verifique que cada uma das curvas abaixo está parametrizada pelo comprimento de arco. Interprete o parâmetro s.

a) δ(s) = (cos s, sen s), s ≥ 0

b) , s ≥ 0, em que R > 0 é um real fixo.

 

c) .

 

5. Seja , com derivada contínua, e tal que ||γ′(t)|| ≠ 0 em

[a, b]. Seja s:[a, b] → dada por .

a) Verifique que a função s = s(t) é inversível e seja t = t(s) sua inversa. b) Verifique que a curva δ :[0, L] → , (L é o comprimento de γ) dada por

 

δ(s) = γ(t(s))

 

está parametrizada pelo comprimento de arco. Dizemos que δ é a reparametrização de γ pelo comprimento de arco.

 

6. Reparametrize pelo comprimento de arco a curva γ dada.

 

a) γ(t) = (2t + 1, 3t – 1), t ≥ 0.

 

b) γ(t) = (2 cos t, 2 sen t), t ≥ 0.

 

c) γ(t) = (cos t, sen t, t), t ≥ 0.

 

d t t ) γ ( t ) = ( e cos t , e sen t), t ≥ 0.

Observação. O número denomina-se curvatura da curva γ no ponto γ(t), t =

 

 

t(s). Se k(s) ≠ 0, o número é o raio de curvatura de γ em γ(t), t = t(s). A motivação

geométrica para tal de nição é a seguinte: para ∆s su cientemente pequeno o trecho PQ (de

comprimento ∆s) da curva γ pode ser olhado como um arco de circunferência de centro 0 e raio ρ(s)

(aproximadamente). Sendo ∆θ (radianos) o ângulo entre os vetores t s

Temos:

 

8. Calcule a curvatura e o raio de curvatura da curva γ(t) = (R cos t,

R sen t)(R > 0 fixo).

 

9. Seja γ : I → parametrizada pelo comprimento de arco (isto é: ||

γ′(s)|| = 1 para todo s ε I).

 

a) Verifique que, para todo s ε I, k(s) = ||γ″(s)||, em

que k(s) é a curvatura em γ(s).

 

b) Prove que se k(s) = 0, para todo s, então γ é uma

reta.

 

10. Uma partícula move-se no plano de modo que no instante t sua

posição seja γ(t). Suponha que, para todo t, e

seja , em que . Prove que

 

a) são ortogonais.

, em que é o versor de o

b)

raio de curvatura de γ em γ(t).

 

11. Seja γ :[a, b] → uma curva com derivada contínua e com

componentes γ e γ (γ = (γ , γ )). Seja P : a = t < t < t < ... 1 2 1 2 0 1 2 < t = b uma partição qualquer de [a, b]. n

 

a) Prove que quaisquer que sejam

tem-se:

 

Sugestão: Utilize a desigualdade

b) Sejam os pontos de mínimo e de máximo,

respectivamente, de γ’ em [t , t ]. Prove que 2 i –1 i

 

c) Prove que

 

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