Um Curso de Cálculo, Volume 2
2.5 Função Dada por uma Integral: Continuidade e Derivabilidade
d) Prove que .
e) Qual é, então, a interpretação para o parâmetro t
que ocorre em ch t? Compare com o parâmetro t que ocorre em cos t.
2.5 Função Dada por uma Integral: Continuidade
eDerivabilidade
Nesta seção vamos estudar, com relação a continuidade e derivabilidade, a função
em que f é suposta integrável em todo intervalo fechado contido em I e, portanto, não necessariamente contínua em I.
Teorema 1. Seja f integrável em qualquer intervalo fechado contido no intervalo I e seja a um
ponto xo de I. Então a função dada por
é contínua em I.
Demonstração
Seja p ∈ I; existe um intervalo [α, β] ⊂ I tal que a, p ∈ [α, β] e se p não for extremo de I, podemos tomar α e β de modo que p ∈ ]α, β[. Como f é limitada em [α, β], pois é integrável neste intervalo, existe M > 0 tal que | f (t)| ≤ M em [α, β]. Para todo x em [α, β] temos
De –M ≤ f (t) ≤ M. para todo t ∈ [α, β], segue que, para todo x ∈ [α, β],
e
Pelo teorema do confronto,
Teorema 2. Sejam f e como no teorema 1. Nestas condições, se f for
contínua em p ∈ I, então F será derivável em p e F′(p) = f(p).
Demonstração
Seja p ∈ I, e suponhamos que p não seja extremo de I. Vamos provar que se f for contínua em p então
que equivale a
Temos
Sendo f contínua em p, dado ε > 0 existe δ > 0, com ]p – δ, p + δ[ ⊂ I, tal que
daí, para todo x em ]p – δ, p + δ[,
De e resulta
e, portanto,
Analise você o caso em que p é extremo de I.
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