13.4 Derivada Direcional e Gradiente

Seja um vetor unitário dado. Calcule em que

 

Solução

 

ou seja, para todo vetor unitário (a, b)

 

Já vimos que f é contínua em (0, 0), mas não diferenciável em (0, 0). Este exemplo mostra-nos que uma função pode ser contínua num ponto, ter derivada direcional em todas as direções neste ponto, e mesmo assim não ser diferenciável neste ponto.

 

13.4 Derivada Direcional e Gradiente

O objetivo desta seção é destacar mais algumas propriedades do vetor gradiente. Inicialmente, vamos provar que se f for diferenciável em (x , y ), 0 0 então f admitirá derivada direcional em todas as direções, no ponto (x , y ), e 0 0 cada derivada direcional se exprime de modo bastante simples em termos do gradiente de f em (x , y ). 0 0

Teorema 1. Sejam f : A ⊂ ℝ → ℝ, A aberto, (x , y ) ∈ A e = (a, b) um vetor unitário. Se f 2 0 0

(x, y) for diferenciável em (x 0 , y 0 ), então f admitirá derivada direcional em (x 0 , y 0 ), na direção , e

 

Demonstração

Seja g dada por g(t) f (x + at, y + bt); da diferenciabilidade da f em (x , y ) 0 0 0 0 segue a diferenciabilidade da g em t = 0 e, pela regra da cadeia,

 

Como

 

resulta,

 

O teorema acima conta-nos que se f (x, y) for diferenciável em (x , y ), 0 0

então

 

Entretanto, se f não for diferenciável em (x , y ) esta relação não tem 0 0 nenhuma obrigação de se verificar. (Veja Exercício 21.)

De agora em diante, quando nada for dito sobre uma função f (x, y) ficará

implícito que se trata de uma função definida num aberto e diferenciável.

 

Veremos a seguir que é a componente escalar de ▽ f (x , y ) na 0 0 direção .

Demonstração

O teorema acima nos diz, ainda, que, estando em (x , y ), a direção e o 0 0

sentido que se deve tomar para que f cresça mais rapidamente é a do vetor ▽f (x , y ). 0 0

 

Exemplo 1

 

Calcule em que f (x, y) = x + xy, e o versor de 2

 

Solução

Como f é diferenciável

 

Exemplo 2

Seja 2 f ( x , y ) = x y.

a) Determine de modo que seja máximo.

 

b) Qual o valor máximo de

c) Estando-se em (1, 1), que direção e sentido deve-se tomar para que f

cresça mais rapidamente?

 

Solução

 

c) ▽ f (1, 1) = (2, 1) aponta a direção e sentido em que f cresce mais

rapidamente em (1, 1).

 

Exemplo 3

 

Admita que 2 2 T ( x , y ) = x + 3 y represente uma distribuição de

temperatura no plano xy : T (x, y) é a temperatura no ponto (x, y)

(supondo T em ºC, x e y em cm).

a) Estando-se em qual a direção e sentido de maior crescimento

da temperatura? Qual a taxa de crescimento nesta direção?

b) Estando-se em qual a direção e sentido de maior

decrescimento da temperatura? Qual a taxa de decrescimento nesta direção?

 

Solução

ou seja,

 

Nesta direção e sentido, a partir de a temperatura está

decrescendo a uma taxa aproximada de 5ºC por cm.

 

Exemplo 4

 

Suponha que 2 2 T ( x , y ) = 4 x + y represente uma distribuição de

temperatura no plano xy. Determine uma parametrização para a trajetória

descrita por um ponto P que se desloca, a partir de (1, 1), sempre na

direção e sentido de máximo crescimento da temperatura.

 

Solução

Por considerações geométricas, é razoável esperar que a trajetória

descrita por P coincida com o gráfico de uma função y = f (x), com f (1)

= 1.

 

O coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de f em (x, y) é

Como ▽T (x, y) = (8x, 2y) deve ser tangente ao gráfico de f,

em (x, y), devemos ter

(Observe que a direção do vetor tem coeficiente

angular Separando as variáveis em e integrando, obtemos,

 

Para que a condição f (1) = 1 seja satisfeita, devemos tomar k = 0; assim,

 

Segue que é uma parametrização para a trajetória

descrita por P. Um outro modo de resolver o problema é determinar

funções x (t) e y (t) tais que a curva γ (t) = (x(t), y(t)) satisfaça as

condições

 

Temos:

 

Deste modo, x (t) e y (t) devem satisfazer as condições Exemplo 6

Deixamos a seu cargo verificar que 8t 2t x = e e x = e satisfazem as

condições acima. Assim,

 

é, também, parametrização da trajetória descrita por P.

 

Exemplo 5

 

Calcule a derivada direcional de 2 2 f ( x , y ) = x + y no ponto (1, 2) e na

direção do vetor

 

Solução

 

Observação. Tudo o que dissemos nesta seção generaliza-se para funções reais de três ou mais

variáveis.

 

Calcule a derivada direcional de f (x, y) = xyz no ponto (1, 1, 3) e na

direção

 

Solução

 

assim

 

Exercícios 13.4

 

1. Calcule sendo dados:

2. Em que direção e sentido a função dada cresce mais rapidamente

no ponto dado? E em que direção e sentido decresce mais rapidamente?

7. 2 2 Admita que T ( x , y ) = 16 – 2 x , – y represente uma distribuição

de temperatura no plano xy. Determine uma parametrização para a trajetória descrita por um ponto P que se desloca, a partir do ponto (1, 2), sempre na direção e sentido de máximo crescimento da temperatura.

 

8. Seja f (x, y) = xy, Determine uma parametrização para a trajetória

descrita por um ponto P que se desloca, a partir do ponto (1, 2), sempre na direção e sentido de máximo crescimento de f.

 

9. Seja f (x, y) = xy. Determine a reta tangente ao gráfico de f, no

ponto (1, 2, f (1, 2)), que forma com o plano xy ângulo máximo.

 

10. Seja f (x, y) = x + 2y + 1. Determine a reta contida no gráfico de f,

passando pelo ponto (1, 1, 4) e que forma com o plano xy ângulo máximo.

Um ponto P descreve uma trajetória sobre o gráfico de f (x, y) =

11. 2 2 4 x + y . Sabe-se que a reta tangente em cada ponto da trajetória

forma com o plano xy ângulo máximo. Determine uma parametrização para a trajetória admitindo que ela passe pelo ponto (1, 1, 5).

 

12. Admita que o gráfico de z = xy represente uma superfície própria

para a prática do esqui. Admita, ainda, que um esquiador deslize pela superfície sempre na direção de maior declive. Se ele parte do ponto (1, 2, 2), em que ponto ele tocará o plano xy?

 

13. 2 2 2 Seja A = {( x , y ) ∈ ℝ | 5 – x – 4 y ≥ 0}. Suponha que o gráfico

de 2 2 z = 5 – x – 4 y , (x, y) ∈ A, represente a superfície de um monte. (Adote o km como unidade de medida.) Um alpinista que se encontra na posição (1, 1, 0) pretende escalá-lo. Determine a trajetória a ser descrita pelo alpinista admitindo que ele busque sempre a direção de maior aclive. Sugerimos ao leitor desenhar o monte e a trajetória a ser descrita pelo alpinista.

 

14. 2 2 Suponha que T ( x , y ) = 40 – x – 2 y represente uma distribuição

de temperatura no plano xy. (Admita que x e y sejam dados em km e a temperatura em ºC.) Um indivíduo encontra-se na posição (3, 2) e pretende dar um passeio.

 

a) Descreva o lugar geométrico dos pontos que ele

deverá percorrer se for seu desejo desfrutar sempre da mesma temperatura do ponto (3, 2).

b) Qual a direção e sentido que deverá tomar se for

seu desejo caminhar na direção de maior crescimento da temperatura?

 

c) De quanto a temperatura se elevará

aproximadamente, caso caminhe 0,01 km na direção encontrada no item b?

 

d) De quanto decrescerá, aproximadamente, a

temperatura, caso caminhe 0,01 km na direção ?

 

15. Calcule a derivada direcional da função dada, no ponto e direção

indicados.

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