17.2 Solução LSQ de um Sistema Linear com Uma Incógnita

 

Uma consequência importante do teorema de Pitágoras e que será

utilizada logo é a seguinte:

 

Sejam n A , B dois pontos do ℝ e seja Ω o conjunto, contendo A, de todos os pontos C de

ℝ n tais que C – A seja ortogonal a B – A. Nestas condições, para todo C em Ω,

 

|| B – A || ≤ || B – C ||

 

ou seja, para todo C em Ω, a distância de B a A é menor ou igual à distância de B a C.

 

De fato, pelo teorema de Pitágoras,

 

|| 2 2 2 B – C || = || B – A || || B – A || .

 

Como || 2 2 2 C – A || ≥ 0, resulta || B – C || ≥ || B – A || e, portanto,

 

||B – A || ≤ ||B – C ||

 

Observação. n Lembre-se de que, sendo X e Y dois pontos do ℝ , a distância de X a Y é || X – Y

||. Assim, se 3 n Ω for uma reta ou um plano em ℝ (ou no ℝ ), então || B – A || será a distância

de B a Ω.

 

17.2 Solução LSQ de um Sistema Linear com Uma

Incógnita Vamos começar considerando um sistema linear S, no plano, com uma incógnita.

 

Esse sistema, no sentido habitual, poderá ter solução ou não. Terá solução se o ponto B = (b , b ) pertencer à reta r, dada, em forma paramétrica, por 1 2

 

Se o ponto B = (b , b ) não pertencer à reta r, o sistema S não admitirá 1 2

solução, no sentido habitual, mas admitirá solução LSQ ou solução dos mínimos quadrados.

 

De nição (de solução LSQ). Dizemos que t é uma solução LSQ ou solução dos mínimos 0

quadrados do sistema linear S se t = t tornar mínima a distância do ponto B = (b , b ) ao 0 1 2

ponto X = (a t, a t, real. 11 12

Consideremos os pontos A = (a t , a t ), B = (b , b ) e X = (a t, 11 0 21 0 1 2 11 a t). Pensando geometricamente, t será uma solução LSQ do sistema 21 0 linear S se o vetor B – A for ortogonal à reta r ou, de forma equivalente, se B – A for ortogonal ao vetor X – A, ou seja, se

 

(B – A) · (X – A) = 0.

 

De fato, se para t = t o vetor B – A for ortogonal a X – A, pelo que vimos 0

na seção anterior, teremos, para todo t,

 

||B – A || ≤ ||B – X ||

 

e, portanto, A é o ponto da reta r que se encontra mais próximo de B.

Observe: se t = t for solução do sistema S no sentido habitual, será, 0

também, solução no sentido LSQ. Você concorda?

Vejamos como achar rapidamente a solução LSQ do sistema S. Primeiro

devemos escrever o sistema S em forma vetorial. A seguir, em vez de representar um vetor em linha, vamos representá-lo em coluna, usando colchetes. Façamos

 

Assim, o sistema S poderá ser reescrito na forma

 

Como X – A é paralelo a , pois é o vetor diretor da reta r, deveremos

ter então ortogonal a , ou seja, Tendo em vista a distributividade do produto escalar em relação à adição, resulta

 

e, portanto,

 

Nada muda se n S for um sistema linear com uma incógnita no ℝ .

Vamos resumir o que fizemos anteriormente supondo n S no ℝ .

 

Solução LSQ n de um sistema linear, com uma incógnita, no ℝ .

Seja S o sistema linear

 

A solução LSQ de S é a raiz da equação

 

e, portanto,

Outro modo de se determinar a solução LSQ do sistema linear S é

usando o cálculo: determina-se t que torna mínimo o quadrado da distância do ponto B = (b , b , …, b ) ao ponto X = (a t, a t, … a t). 1 2 n 11 21 n 1 Indicando por W o quadrado da distância de B a X, temos:

 

Derivando, obtemos

 

Igualando a zero e lembrando que resulta

 

Como o gráfico de W W (t) é uma parábola com concavidade voltada para cima (de acordo?), segue que o valor de t acima torna mínimo o valor de W.

 

Exemplo

 

Determine a solução LSQ do sistema

 

Solução

Aqui,

 

A solução LSQ do sistema é

 

Conclusão: é a solução LSQ do sistema dado. (Observe que

esse sistema não admite solução no sentido habitual. Observe, ainda, que, para a distância do ponto B = (5, 8, 7) ao ponto (3t, t, 2t) é

exatamente a distância de B à reta dada, em forma paramétrica, por x = 3t, y = t e z = 2t.)

 

ATENÇÃO: Na HP-48G, a solução fornecida pelo aplicativo SOLVE LINEAR SYSTEM é uma solução LSQ. No Apêndice B, mostramos como trabalhar nesse aplicativo.

 

Exercícios 17.2

 

1. Determine a solução LSQ do sistema dado.

2. Seja o ponto P = (2, 1, 3) e considere a reta r dada em forma

 

paramétrica por

 

Determine o ponto de r que se encontra mais próximo de P.

 

3. Seja o ponto P = (1, 1, 1) e considere a reta r dada em forma

paramétrica por

 

Determine o ponto de r que se encontra mais próximo de P.