Um Curso de Cálculo, Volume 2
15.4 Polinômio de Taylor de Ordem 1
Sendo a única força atuando sobre a partícula, determine a posição γ(t) da partícula no instante t. Desenhe a trajetória descrita pela partícula.
15.4 Polinômio de Taylor de Ordem 1
Seja 2 2 f ( x , y ) de classe C no aberto A ⊂ ℝ . Sejam (x , y ) ∈ A e (h, k) ≠ (0,
0 0
0) tais que o segmento de extremidades (x , y ) e (x + h, y + k) esteja 0 0 0 0 contido em A. Consideremos a função g dada por
A g fornece os valores que a f assume nos pontos do segmento de extremidades (x , y ) e (x + h, y + k). Esta função g desempenhará o papel de ligação na 0 0 0 0
extensão da fórmula de Taylor para funções de duas variáveis reais.
Pela fórmula de Taylor, com resto de Lagrange, para funções de uma
variável, temos:
para algum t em ]0, 1[.
Calculemos, agora, g′ (t) e g" (t):
ou seja,
em que x = x + ht e y = y + kt; 0 0
ou seja,
em que x = x + ht e y = y + kt. 0 0
Temos, então:
Observe que (x, y é um ponto interno ao segmento de extremidades (x , y ) e 0 0 (x + h, y + k), pois t ∈ ]0,1[. 0 0
Substituindo em resulta:
em que
para algum (x, y) interno ao segmento de extremidades (x , y ) e (x + h, y 0 0 0 0 + k).
Demonstramos, assim, o seguinte teorema.
Teorema. 2 2 Seja f ( x , y ) de classe C no aberto A ⊂ ℝ e sejam (x ∈ , y ) A e (h, k) ≠ (0, 0) tais
0 0
que o segmento de extremidades (x , y ) e (x + h, y + k) esteja contido em A. Nestas 0 0 0 0
condições,
em que
para algum (x, y)interno ao segmento de extremidades (x 0 , y 0 ) e (x 0 + h, y 0 + k).
Observação. Fazendo x = x 0 + h e y = y 0 + k, obtemos
em que
para algum (x,y) interno ao segmento de extremidades (x , y ) e (x, y). 0 0
O polinômio
denomina-se polinômio de Taylor de ordem 1 de f (x, y) em volta de (x , y ). 0 0
Observe que o gráfico de P (x, y) é o plano tangente ao gráfico de f em 1
(x , y , f (x , y )). E (x, y) é o erro que se comete na aproximação de f (x, y) 0 0 0 0 1
por P (x, y); é a expressão do erro na forma de Lagrange. (Às vezes, usa-se 1
a expressão resto em lugar de erro.)
Exemplo
Seja f(x,y) = ln(x+y).
a) Determine o polinômio de Taylor de ordem 1 de f em volta de
b) Mostre que para todo (x, y), com
Solução
Como
resulta:
ou seja,
b) ln(x+y) = P (x,y)+ E(x,y), em que 1
ou a) Mostre que para todo (x, y), com x + 5y < 1,
para todo (x, y), com x + y > 1. Assim,
ou
para todo (x, y), com x + y > 1.
Exercícios 15.4
1. Determine o polinômio de Taylor de ordem 1 da função dada, em
volta do ponto (x , y ) dado. 0 0
a x +5y ) f ( x , y ) = e e (x , y ) = (0, 0). 0 0
b) 3 3 2 f ( x , y ) = x + y – x + 4y e (x , y ) = (1, 1). 0 0
c) f (x, y) = sen (3x + 4y) e (x , y ) = (0, 0). 0 0
2. x +5y Sejam f ( x , y ) = e e P (x, y) o polinômio de Taylor de ordem
1
1 de f em volta de (0, 0).
b) Avalie o erro que se comete na aproximação
para x = 0,01 e y = 0,01.
3. 3 3 2 Sejam f ( x,y ) = x + y – x + 4y e P (x, y) o polinômio de Taylor
1
de ordem 1 de f em volta de (1, 1). Mostre que para todo (x, y), com | x – 1| < 1 e | y – 1| < 1,
4. 3 3 2 Sejam f ( x,y ) = x + y – x + 4y e P (x, y) o polinômio de Taylor
1
de ordem 1 de f em volta de (1, 1).
a) Utilizando P (x,y), calcule um valor aproximado 1
para f (x, y), sendo x = 1,001 e y = 0,99.
b) Avalie o erro que se comete na aproximação do
item a).
(Sugestão: Utilize o Exercício 3.)
5. Seja (x , y ) um ponto crítico de f (x, y) e suponha que f seja de 0 0
classe 2 C na bola aberta B de centro (x , y ). Prove que para
0 0
todo (x, y) em B, existe (x, y) interno ao segmento de extremidades (x 0 , y 0 ) e (x, y) tal que
6. 2 2 Seja f ( x , y ) = ax + bxy + cy + dx + ey + m (a, b, c, d, e, m
constantes) e seja (x , y ) um ponto crítico de f. Prove que, para 0 0
todo (h, k),
7. Sejam f (x, y) e (x , y ) como no exercício anterior. Prove que se 0 0
a 2 > 0 e b – 4ac < 0, então
para todo (h, k) ≠ (0, 0). Como é o gráfico de f ?
8. 2 Suponha f ( x , y ) da classe C na bola aberta B de centro (x , y )
0 0
e que as derivadas parciais de 2 a ordem sejam limitadas em B. Prove que existe M > 0 tal que, para todo (x, y) ∈ B.