11.3 Plano Tangente e Reta Normal

 

Sendo f(x, y) diferenciável em (x , y ), temos: lim 0 0

 

Fazendo x = x + h e y = y + k, resulta 0 0

Seja E(x, y) o erro que se comete na aproximação de f(x, y) por

 

Assim,

 

em que

 

Do que vimos na Seção 11.1 (veja também o Exercício 15 desta seção),

resulta que T(x, y) é a única função afim que aproxima f(x, y) com erro E(x, y) que tende a zero mais rapidamente que ||(x, y)–(x , y )||, quando (x, y) tende a 0 0 (x , y ). (Dizer que E(x, y) tende a zero mais rapidamente que ||(x, y)–(x , 0 0 0 y )||, quando (x, y) tende a (x , y ), significa que 0 0 0

 

De nição. Seja f diferenciável no ponto (x , y ). O plano 0 0

 

denomina-se plano tangente ao grá co de f no ponto (x 0 , y 0 , f(x 0 , y 0 )).

 

Observe que só definimos plano tangente em (x , y , f(x , y )) se f for 0 0 0 0

diferenciável em (x , y ). Se f não for diferenciável em (x , y ), mas admitir 0 0 0 0 derivadas parciais neste ponto, então o plano existirá, mas não será plano tangente. Veremos mais adiante que se f(x, y) for diferenciável em (x , y ), o 0 0 plano conterá todas as retas tangentes ao gráfico de f no ponto (x , y , f(x , 0 0 0 y )). 0

Em notação de produto escalar, o plano se escreve:

 

Segue que o plano tangente em (x , y , f(x , y ) é perpendicular à direção do 0 0 0 0 vetor

 

A reta que passa pelo ponto (x , y , f(x , y ) e é paralela ao vetor 0 0 0 0

denomina-se reta normal ao gráfico de f no ponto (x , y , f(x , y ). A 0 0 0 0 equação de tal reta é:

Exemplo 1

 

Seja 2 f ( x, y ) = 3 x y – x. Determine as equações do plano tangente e da

reta normal do ponto (1, 2, f(1, 2)).

 

Solução

Plano tangente

 

A equação do plano tangente é

 

Reta normal

 

ou seja,

 

Exemplo 2

Seja

 

Mostre que o gráfico de f não admite plano tangente em (0, 0, f(0, 0)).

 

Solução

De acordo com a definição, para que f admita plano tangente no ponto (0,

0, f(0, 0)), f deve ser diferenciável em (0, 0). Se provarmos que f é não

diferenciável em (0, 0), seguirá que f não admite plano tangente no ponto

dado. Temos:

 

Seja . Temos:

 

e

 

Assim,

não existe, logo, f não é diferenciável em (0, 0); portanto, f não admite

plano tangente no ponto (0, 0, f (0, 0)). Observe que o plano

 

ou seja,

 

z = 0

 

não contém a reta tangente à curva γ(t) = (t, t, (t, t)) no ponto γ(0) = (0, 0,

f(0, 0)). De fato, a reta tangente a γ no ponto (0, 0, f (0, 0)) = (0, 0, 0) é:

 

que, evidentemente, não está contida no plano z = 0.

 

Exercícios 11.3

 

1. Determine as equações do plano tangente e da reta normal ao

gráfico da função dada, no ponto dado.

2. Determine o plano que passa pelos pontos (1, 1, 2) e (21, 1, 1) e

 

que seja tangente ao gráfico de f(x, y) = xy.

 

3. Determine o plano que seja paralelo ao plano z = 2x + y e

tangente ao gráfico de 2 2 f ( x , y ) = x + y .

 

4. z = 2x + y é a equação do plano tangente ao gráfico de f(x, y) no

ponto (1, 1, 3). Calcule .

 

5. 2x + y + 3z = 6 é a equação do plano tangente ao gráfico de f(x, y)

no ponto (1, 1, 1).

 

a) Calcule .

 

b) Determine a equação da reta normal no ponto (1, 1,

1).

6. Considere a função em que ϕ(u) é uma função

 

derivável de uma variável. Mostre que os planos tangentes ao gráfico de f passam pela origem.

 

7. Considere a função . Mostre que os planos

 

tangentes ao gráfico de f pas sam pela origem.

 

8. Determine o plano que seja paralelo ao plano z = 2x + 3y e

tangente ao gráfico de 2 f ( x , y ) = x + xy.

 

9. Determine os planos que sejam tangentes ao gráfico de f(x, y) =

x 2 2 + y e que contenham a interseção dos planos x + y + z = 3 e z = 0.

 

10. 2 2 β é um plano tangente aos gráficos de f ( x , y ) = 2 + x + y e g(x,

y 2 2 2 2 ) = – x – y . Mostre que a + b = 1, sendo (a, b, f(a, b)) o ponto em que β tangencia o gráfico de f.

 

11. 2 2 Considere a função f ( x , y ) = 1 – x – y . Seja α o plano tangente

ao gráfico de 2 2 2 f no ponto ( a , b , 1 – a – b ), com a > 0, b > 0 e a

+ 2 b < 1. Seja V o volume do tetraedro determinado por α e pelos planos coordenados.

 

a) Expresse V em função de a e b. b) Determine a e b para que se tenha

.

 

12. 2 2 Determine os planos tangentes ao gráfico de f ( x, y ) = 2 + x + y

 

e que contenham o eixo x.

 

13. 2 2 Considere a função f ( x, y ) = xg ( x – y ), em que g(u) é uma

função derivável de uma variável. Mostre que o plano tangente ao gráfico de f no ponto (a, a, f(a, a)) passa pela origem. 14. A função z = z(x, y) é diferenciável e dada implicitamente pela