17.3 Solução LSQ de um Sistema Linear com Duas ou Mais Incógnitas

Solução LSQ de um Sistema Linear com Duas ou

17.3 Mais Incógnitas

 

Inicialmente, vamos considerar um sistema com duas incógnitas. Seja, então, S o sistema linear

 

De nição (de solução LSQ). Dizemos que (x , y ) é uma solução LSQ de S se (x, y) = (x , 0 0 0

y ) tornar mínima a distância do ponto 0

 

Fazendo

 

supondo que o vetor B – A seja ortogonal a X – A e procedendo como na seção anterior, resulta, para todo (x, y),

||B – A || ≤ ||B – X ||.

 

Façamos

 

Observando que

 

segue, se B – A for ortogonal a , ou seja, se

 

então B – A será, também, ortogonal a X – A. Como o

sistema acima poderá ser reescrito na forma

 

que é equivalente a

 

Resumindo:

Solução LSQ n de um sistema linear, com duas incógnitas, no ℝ . Seja S o sistema

linear

 

A(s) solução(ões) LSQ de S é(são) a(s) solução(ões) do sistema auxiliar

 

ATENÇÃO: Prova-se em Álgebra Linear que o sistema SA é sempre compatível, no sentido habitual. Será compatível determinado, ou seja, admitirá uma única solução, se forem linearmente independentes.

Será compatível indeterminado, ou seja, admitirá uma infinidade de soluções, se forem linearmente dependentes.

 

MODO PRÁTICO PARA SE OBTER SA

 

Primeiro escreve-se S na forma vetorial:

 

Em seguida, multiplicam-se escalarmente os dois membros por e, depois, por para obter

Outro modo de se obter a solução LSQ do sistema linear S é determinar,

 

por meio do cálculo, o ponto que minimiza o quadrado da distância de B a X. Chamando de W o quadrado dessa distância, temos:

 

A(s) solução(ções) LSQ de S será(ão) então a(s) solução(ões) do sistema

 

que nada mais é do que o nosso SA acima.

 

Exemplo 1

 

Resolva, no sentido LSQ, o sistema

Solução

 

Aqui

 

Temos:

 

O nosso sistema auxiliar é então

 

cuja solução é

 

Conclusão: é, então, a solução LSQ do sistema

dado.

 

Observação. Observe que, no sentido habitual, o sistema do exemplo acima não admite

solução.

Exemplo 2

 

Considere no 4 ℝ o conjunto

 

Determine o ponto de Φ que está mais próximo de B = (3, 1, 2, 1).

 

Solução

O ponto (u, v, w, z) de Φ que está mais próximo de B é aquele obtido

com (x, y) solução LSQ de

 

que nada mais é que o sistema do exemplo anterior. Como vimos, a

solução LSQ desse sistema é O ponto de Φ mais

 

próximo de B é

 

Exemplo 3

 

Resolva, no sentido LSQ, o sistema

 

Solução

Temos

~˚ ~˚

 

Observe que são linearmente dependentes. O

sistema admitirá infinitas soluções LSQ. De fato,

 

que é equivalente a

 

Conclusão: As soluções LSQ do sistema dado são todos os pares (x, y) tais que 2x + 4y = 1. (Vejamos um outro modo de resolver o problema acima. Colocando o sistema S em forma vetorial, temos

 

Tendo em vista que resulta: Fazendo t = x + 2y, obtemos o sistema, com uma incógnita,

 

cuja solução LSQ é

Então, as soluções LSQ de S são todos os pares (x, y) tais que

ou seja, tais que 2x + 4y = 1.)

Para finalizar a seção, observamos que o procedimento para se

resolver um sistema, no sentido LSQ, com mais de duas incógnitas é

análogo ao procedimento para duas variáveis. Consideremos, por

exemplo, o sistema linear com três incógnitas

 

Em forma vetorial, o sistema acima se escreve

 

O sistema auxiliar SA será, então,

 

A mesma observação é válida para o sistema SA. Tal sistema será

sempre compatível, no sentido habitual: admitirá uma única solução

se forem linearmente independentes; caso contrário,

admitirá uma infinidade de soluções.

 

Exercícios 17.3

1. Resolva, no sentido LSQ, o sistema linear dado. A solução

encontrada é solução no sentido habitual?

 

2. Considere o plano α dado em forma paramétrica por

 

Seja B (3, 0, 1). Determine o ponto do plano α que se encontra mais próximo de B. Qual a distância de B a α?