Um Curso de Cálculo, Volume 2
15 Teorema do Valor Médio. Fórmula de Taylor com Resto de Lagrange
15.1 Teorema do Valor Médio
Um dos teoremas centrais do cálculo de funções reais de uma variável real é o teorema do valor médio (TVM). Nesta seção, vamos estendê-lo para o caso de funções reais de duas variáveis reais e deixaremos a cargo do leitor a tarefa de generalizá-lo para funções reais de três ou mais variáveis reais.
Antes de enunciar e demonstrar tal teorema, vamos introduzir os conceitos
de 2 segmento e poligonal . Sejam P e P dois pontos do ℝ ; o conjunto
0 1
denomina-se segmento de extremidades P e P . Sejam, agora, P , P , 0 1 0 1 P 2 ,..., P n + 1 pontos distintos do ℝ , o conjunto
2 n
denomina-se poligonal de vértices P , P , ..., P . 0 1 n
Teorema (do valor médio). 2 Sejam A um subconjunto aberto do ℝ , P e P dois pontos de A
0 1
tais que o segmento P P esteja contido em A. Nestas condições, se f (x, y) for diferenciável em A, 0 1
então existirá pelo menos um ponto P interno ao segmento P P (isto é, P pertence a P P mas 0 1 0 1
não é extremidade) tal que
Demonstração
Consideremos a função g :[0,1] → ℝ dada por
Esta função g fornece os valores que f assume nos pontos do segmento P P . 0 1
Da diferenciabilidade de f em A, segue que g é contínua em [0, 1] e derivável em ]0, 1[. Pelo TVM existe t em ]0, 1[ tal que
ou seja,
Como g(1) = f(P ) e g(0) = f(P ), resulta 1 0
Pela regra da cadeia
em que γ(t) = P + t (P – P ). Temos 0 1 0
Assim,
em que P = P + t (P – P ) é um ponto interno ao segmento P P pois 0 < 0 1 0 0 1 t < 1. Portanto,
Pelo TVM existe P interno ao segmentoP P tal que 0 1
ou seja,
ou ainda,
Assim, se f (x, y) for diferenciável no aberto A e se P P ⊂ A, então existirá 0 1 P interno a P P tal que a derivada direcional de f, em P e na direção 0 1
é a taxa média de variação de f entre os pontos P e P , P ≠ 0 1 0
P . 1
Observação. O enunciado do TVM para função real de n variáveis (n > 2) é o acima, substituindo
ℝ 2 n por ℝ .
Exercícios 15.1
1. Determine P = (x, y) como no teorema do valor médio, sendo
dados: