B.7 Resolvendo Sistema Linear no Ambiente Home. As Funções LSQ, RREF e COL+

Soluções: e todos os colchetes (sem mexer nos números)

 

de modo que fiquem apenas os números, e pressione ENTER. Após essas operações, a situação na pilha deverá ser a seguinte:

 

Nível 2: 1,19230769231 Nível 1: 1,26923076923

 

Agora é que vem a mágica. Para realizar a mágica, pressione:

 

↰ (shift roxo) 9 NXT → Q (no menu do aplicativo)

 

para obter 33/26. Conseguiu? Legal! Anote esse número. Em seguida, pressione a função roxa DROP (na tecla ao lado de DEL) para deletar apenas o conteúdo do nível 1. Com essa operação, o conteúdo do nível 2 desce para o nível 1. Agora, é só pressionar novamente → Q (no menu do aplicativo) para obter 31/26. A mágica acaba de ser realizada!!!

 

B.7 Resolvendo Sistema Linear no Ambiente Home.

As Funções LSQ, RREF e COL+

 

Na seção anterior, aprendemos a resolver sistemas lineares no aplicativo SOLVE SYSTEM. Agora, vamos aprender a resolver tais sistemas no próprio ambiente HOME. A variável LSQ é que nos possibilitará tal façanha: LSQ é uma variável reservada da calculadora, e, quando ativada, resolve sistema linear no sentido LSQ, ou seja, a solução que ela nos fornece é uma solução LSQ. Para acessar a variável LSQ, digite:

 

MTH MATR (no menu do aplicativo, tecla branca da letra B). Pronto, LSQ é a variável que ocupa o último retângulo da direita do menu do aplicativo e será ativada pela tecla branca da letra F.

Para entrar com uma matriz no ambiente HOME, é só pressionar

MATRIX (função verde da tecla ENTER) para abrir o “escrevedor de matrizes”. Digitada a matriz, pressione ENTER para mandá-la para o ambiente HOME.

Para resolver um sistema linear no ambiente HOME, primeiro entramos

com a matriz B dos termos independentes e, em seguida, com a matriz A dos coeficientes das variáveis.

 

Resolvendo sistema linear no ambiente HOME

 

Primeiro entre com a matriz B dos termos independentes; em seguida, com a matriz A dos coe cientes das variáveis.

 

Para resolver o sistema,

 

pressione LSQ (no menu)

 

ou

 

digite LSQ e pressione ENTER

 

Exemplo 1

 

Resolva o sistema linear

Solução

Aqui

 

Como o determinante da matriz A é diferente de zero (detA = 5), o

sistema admite solução única e no sentido habitual. Para determinar a

solução, entre no “escrevedor de matrizes” e digite a matriz B. Após

digitada, pressione ENTER para mandá-la para o ambiente HOME.

Em seguida, repita o processo com a matriz A. Estando a matriz A no

nível 1 e a B no nível 2, pressione LSQ para obter a solução [ [–2,8] [

5,4] ], ou seja, x = –2, 8 e y = 5, 4. (ATENÇÃO: Se você não mexeu

na matriz [ [–2,8] [5,4] ] e quiser passar a solução para a forma de

fração ordinária, proceda como no final da seção anterior, para obter x

= 214/5 e y = 27/5.)

 

Como prever antecipadamente se um sistema linear admite solução

única, quer seja no sentido habitual ou no sentido LSQ? Como prever antecipadamente se um sistema linear admite infinitas soluções, quer seja no sentido habitual ou no sentido LSQ? Pois bem, a variável RREF, que é uma variável reservada da calculadora, nos possibilitará decidir antecipadamente se o sistema admite solução única ou não, quer seja no sentido habitual ou no sentido LSQ. O que faz a variável RREF ? Quando ativada, essa variável realiza o escalonamento de Gauss da matriz que se encontra no nível 1.

Dado um sistema linear, chamamos de matriz completa desse sistema a

matriz obtida, acrescentando à matriz dos coeficientes das variáveis, como última coluna, a matriz dos termos independentes. Por exemplo, a matriz completa M do sistema

 

Sendo M a matriz completa de um sistema linear, chamaremos de matriz

escalonada de M a matriz obtida com a aplicação da função RREF. A matriz escalonada da matriz completa M será indicada por ME.

 

Solução de sistema linear

 

Consideremos um sistema linear com p incógnitas e n equações.

1. Se a matriz escalonada tiver p + 1 colunas e for da forma

 

então (d , d , …, d ) será a única solução, no sentido habitual, do sistema. 1 2 p

2. Se a matriz escalonada tiver p + 1 colunas e for da forma

o sistema não admitirá solução no sentido habitual, mas admitirá uma única solução LSQ.

 

3. Se ME não for de nenhum dos tipos anteriores e se ME não possuir linha do tipo [0 0 0 …

0 1], então o sistema admitirá in nitas soluções no sentido habitual.

4. Se ME não for de nenhum dos tipos 1 e 2 e se ME possuir uma linha da forma [0 0 0 … 0

1], então o sistema não admitirá solução no sentido habitual, mas admitirá in nitas soluções no sentido LSQ.

 

Tudo o que está no quadro anterior, prova-se em álgebra linear. Se você

já estudou álgebra linear, sugerimos provar o que acabamos de afirmar.

Acho que a essa altura você já deve estar fazendo a pergunta: e onde

está essa variável RREF? Para encontrar RREF, digite:

 

MTH MATR (no menu) FACTR (no menu)

 

Acho, ainda, que você deve estar falando com os seus botões: e eu vou

ter que guardar tudo isso na cabeça? Não. O que você precisa é guardar pelo menos os nomes das variáveis. Se você souber o nome da variável, para ativá-la é só digitá-la e pressionar ENTER. Por exemplo, se quisermos escalonar uma matriz, é só entrar com a matriz, digitar RREF e pressionar ENTER.

Como ativar uma variável da calculadora

 

Digite o nome da variável e pressione ENTER

ou

localize o menu que a contém e pressione a tecla branca correspondente ao retângulo onde

está a variável.

 

Outro modo bem mais prático para se ativar uma variável da

calculadora ou uma que você tenha criado é incluí-la no menu personalizado.

 

Incluindo variáveis no menu personalizado

 

Abra o arquivo MEMORY, leve a barra de destaque para cima da variável CST, pressione EDIT (no

menu), pressione novamente EDIT (no menu), digite as variáveis que você deseja incluir,

lembrando que entre as variáveis deve haver um espaço; pressione ENTER três vezes para

con rmar as inclusões e retornar ao ambiente HOME.

 

LEMBRE-SE: para chamar o MENU PERSONALIZADO, é só pressionar a tecla CST.

 

Para resolver um sistema linear, precisamos obrigatoriamente entrar

com a matriz B dos termos independentes e com a matriz A dos coeficientes das variáveis. Agora, se quisermos antecipar como são as soluções do sistema, precisaremos, também, da matriz completa M. Só que não será necessário digitar toda a matriz M: a matriz M poderá ser criada a partir das matrizes A e B. Vejamos como realizar essa proeza. Primeiro, para que não aconteça nenhum desastre, vamos colocar na memória as matrizes A e B.

 

Colocando na memória as matrizes A e B

 

Digite no “escrevedor de matrizes” a matriz dos termos independentes e pressione ENTER para

mandá-la para o nível 1 da pilha. Em seguida, digite:

 

′ B ′ STO

 

(ou B STO se você tiver certeza de que a variável B não consta da memória)

 

Proceda de modo análogo com a matriz dos coe cientes das variáveis, trocando, evidentemente,

o B por A.

 

ATENÇÃO. Quando uma variável, digamos X, já está na memória com um determinado conteúdo e queremos utilizá-la para armazenar um outro conteúdo, é só entrar no nível 1 com o novo conteúdo e digitar:

 

′ X ′ STO

 

que a substituição será automática. Se a variável X não consta da memória, para armazenar um conteúdo nela é só entrar com o conteúdo no nível 1 e digitar:

 

X STO

 

Como fazer para colocar na pilha o conteúdo de uma variável que não armazena programa?

Colocando na pilha o conteúdo de uma variável que não armazena programa

 

Digite o nome da variável e pressione ENTER. Ou, pressione a tecla VAR (para abrir o menu

das variáveis) e pressione a variável desejada.

 

Como fazer para criar a matriz M a partir das matrizes A e B? Vamos

supor que as matrizes já estão armazenadas nas variáveis A e B. Como dissemos acima, para entrar com a matriz A na pilha é só digitar A e pressionar ENTER; da mesma forma para a matriz B.

 

Criando a matriz M a partir de A e B

 

Entre na pilha com as matrizes A e B, nessa ordem, e, em seguida, entre com o número da

última coluna da matriz M (que é o número de colunas da A mais 1) de modo que a matriz A

estará no nível 3, a B, no nível 2, e o número da última coluna de M, no nível 1. Agora, digite:

 

MTH MATR (no menu) COL (no menu) COL+ (no menu).

 

ATENÇÃO. Inclua COL+ no menu personalizado (não pode haver espaço entre COL e +).

 

Exemplo 2

 

Resolva o sistema linear

Solução

Aqui,

 

Procedendo como dissemos anteriormente, digite a matriz B e

armazene-a na variável B. Digite a matriz A e armazene-a na variável

A. Para criar a matriz M, digite A e pressione ENTER para entrar com

a matriz A na pilha; em seguida, digite B e pressione ENTER para

entrar com a matriz B na pilha. Para criar a matriz M, digite:

 

4 ENTER COL+ (no menu ou no menu personalizado).

 

Se tudo correu “dentro dos conformes”, a matriz M deve ter aparecido

no nível 1 da pilha. Apareceu? Se apareceu (se não apareceu reveja

anteriormente qual o procedimento correto) a matriz M, podemos

determinar a matriz escalonada ME. Para criar ME, digite:

 

RREF ENTER

 

para obter a matriz escalonada,

Assim, ME é do tipo 1 acima. Logo, o sistema é compatível e determinado, sendo x = 2, y = 1 e z = –1 a sua única solução, no sentido habitual.

 

 

Exemplo 3

 

Resolva o sistema

 

Solução

Aqui

 

A matriz A é a do exemplo anterior. A matriz B difere da matriz do exemplo anterior apenas na última linha; se você não apagou a matriz B do exemplo anterior, podemos substituir o 11 pelo 10, e para isso, digite:

MEMORY (função verde da tecla VAR)

 

Agora, leve a barra de destaque para cima da variável B, pressione

EDIT (no menu), pressione novamente EDIT (no menu), leve o

cursor para cima do 11, pressione DEL, digite 10 e pressione

ENTER três vezes. Pronto, a matriz B já foi alterada. Como no

exemplo anterior não armazenamos a matriz M, será preciso criá-la, e,

para isso, proceda como no exemplo anterior. Estando a matriz M no

nível 1, digite:

 

RREF e pressione ENTER

 

para obter a matriz

 

que é do tipo 2 anterior. Assim, o sistema não admite solução no

sentido habitual, mas admite uma única solução LSQ. Para

determinar essa única solução, entre com as matrizes B e A, nessa

ordem, e digite:

 

LSQ ENTER

 

ou

 

pressione LSQ no menu personalizado

 

para obter [ [1,7222…] [1,13888…] [– 0,8888…] ] e, portanto, x =

1,7222…, y = 1,13888… e z = – 0,8888… . Convertendo para fração