14.2 Aplicações da Regra da Cadeia Envolvendo Derivadas Parciais de Ordens Superiores

14.2 Aplicações da Regra da Cadeia Envolvendo

Derivadas Parciais de Ordens Superiores

Sejam f(x,y), x = x(t) e y = y(t) diferenciáveis. Pela regra da cadeia, temos:

 

ou

 

Suponhamos, agora, que as funções sejam também diferenciáveis.

O gradiente de em (x, y) é:

 

ou seja,

 

Temos, então, pela regra da cadeia:

 

Assim,

 

Da mesma forma,

e, portanto,

 

 

Exemplo 1

 

Suponha 2 2 f ( x , y ) de classe C num aberto do ℝ . Seja g(t) = f(3t, 2t + 1).

Expresse g"(t) em termos de derivadas parciais de f.

 

Solução

 

ou seja,

 

Então,

Exemplo 2

 

Sejam 5 4 f ( x,y ) = x y , x = 3t e y = 2t + 1. Calcule g"(t) sendo

 

g(t) = f(3t, 2t + 1).

 

Solução

 

1 o processo (pela regra da cadeia)

g(t) = f(x,y), x = 3t e y = 2t + 1.

 

Pelo exemplo anterior

 

em que x = 3t e y = 2t + 1. Tendo em vista que

 

resulta,

 

e, portanto,

 

2 o processo

 

Portanto,

 

ou seja,

Exemplo 3

 

Suponha 2 2 f ( x , y ) de classe C num aberto de ℝ . Seja g dada por

 

em que 2 3 x = t e y = t . Expresse g'(t) em termos de derivadas parciais de

f.

 

Solução

 

Pela regra de derivação de um produto, temos:

 

Como

 

resulta,

 

Exemplo 4

Seja 2 2 2 z = f ( x , x ) em que f ( x , y ) é de classe C num aberto de ℝ .

Expresse em termos de derivadas parciais de f.

 

Solução

 

ou seja,

 

Segue que,

 

Temos:

 

ou seja,

 

Temos, também:

ou seja,

 

Exemplo 5

 

Seja 2 z = f ( u – 2 v , v + 2 u ) em que f ( x , y ) é de classe C num aberto de

ℝ 2 . Expresse em termos de derivadas parciais de f.

 

Solução

 

ou seja,

 

Segue que,

 

Como

e

 

resulta

 

Exemplo 6

 

Mostre que a mudança de variáveis u v x = e e y = e transforma a

equação

 

em

 

Solução

 

Temos

ou seja,

 

ABUSOS DE NOTAÇÃO. Aqui deve ser olhado como função

de x e y, enquanto deve ser olhado como função de u e v.

Segue de que

 

Tendo em vista que

 

resulta

 

Procedendo de forma análoga obtém-se

 

Somando-se e resulta

Exercícios 14.2

 

 

(Quando nada for dito sobre uma função, ficará subentendido que se trata de uma função de classe 2 C num aberto.)

 

1. Expresse g'(t) em termos de derivadas parciais de f, sendo g dada

por

2. Expresse g"(t) em termos de derivadas parciais de f, sendo g(t) =

f(5t), 4t).

 

3. Considere a função g(t) = f(a + ht, b + kt), com a, b, h e k

constantes.

 

a) 2 2 Supondo f ( x , y ) de classe C num aberto de ℝ ,

verifique que

 

em que x = a + ht e y = b + kt.

 

b) 3 2 Supondo f ( x , y ) de classe C num aberto de ℝ ,

verifique que

 

em que x = a + ht e y = b + kt.

4. 2 2 2 2 Considere a função h ( x,y ) = f ( x + y , x – y ), em que f (u, v) é

suposta de classe 2 C . Verifique que

 

em que 2 2 2 2 u = x + y e v = x – y .

 

9. 2 2 Sejam f ( x , y ) de classe C num aberto de ℝ , g (x) derivável até

a 2 a ordem num intervalo aberto I e tais que, para todo x ∈ I,

f(x,g(x)) = 0 (isto é, y = g(x) é dada implicitamente pela equação f(x,y) = 0). Expresse g"(x) em termos de derivadas parciais de f.

 

10. Suponha que f (x, t) satisfaça a equação

 

11. Suponha que f (x, t) satisfaça a equação

 

12. Seja F(r,θ,t) = f(x, y, t) em que x = r cos θ e y = r sen θ. Suponha

que (c ≠ 0 constante)

15. 2 2 a ) Ache uma função u ( x , y ) da forma ( x , y ) = F ( x + y ) que

satisfaça a equação de Laplace

 

b) Faça a mesma coisa para funções de três ou mais

variáveis.

 

16. Verifique que a mudança de variáveis x = s cos θ–t sen θ e y = s

sen θ + t cos θ com θ constante, transforma a equação

17. Verifique que a mudança de variáveis u = x + y e v = y + 2x

 

transforma a equação

 

18. Suponha que z = z (x, y) satisfaça a equação

 

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