7.5 Derivada

6. Seja F:[a, b] → contínua. Prove que existe M > 0 tal que

em [a, b].

 

7.5 Derivada

 

De nição 1. n Sejam F : A → ℝ e t ∊ A. De nimos a derivada de F em t por

0 0

 

desde que o limite exista.

 

Se F admite derivada em t , então diremos que F é derivável ou 0

diferenciável em t . Dizemos que F é derivável em B ⊂ D se o for em cada t 0 F ∊ B. Dizemos, simplesmente, que F é derivável ou diferenciável se o for em cada ponto de seu domínio.

 

Teorema 1. Sejam F = (F , F , ..., F ) e t pertencente ao domínio de F. Então, F será derivável 1 2 n 0

em t 0 se e somente se cada componente de F o for; além disso, se F for derivável em t 0

 

Demonstração

Pelo teorema da seção anterior, existirá se e somente se

 

 

existirem e forem finitos os limites . Logo, F será derivável

 

em t se e somente se cada componente o for. Teremos então: 0

 

ou seja,

 

Exemplo 1

 

Seja . Calcule

 

Solução

 

ou seja,

Exemplo 2

 

 

Seja . Calcule.

 

Solução

 

Seja, agora, 2 F : A → e seja t ∊ A. Geometricamente, vemos

0

como um “vetor tangente” à trajetória de F, no ponto F(t ). 0

Quando tende ao “vetor tangente” à trajetória de F

em F(t ). 0

 

De nição 2. n Seja F : A → ℝ derivável em t , com . Dizemos que é um

0

vetor tangente à trajetória de F, em F(t 0 ). A reta

 

denomina-se reta tangente à trajetória de F no ponto F(t ). 0

 

A reta tangente à trajetória de F no ponto F(t ) é, então, por definição, a 0

reta passando pelo ponto F (t ) e paralela ao vetor tangente . 0

 

Exemplo 3

 

Seja F(t) = (cos t, sen t), t ∊ . Determine a equação da reta tangente à

trajetória de F no ponto .

 

Solução

 

A equação da reta tangente em é:

ou seja,

 

Faça você o desenho da trajetória de F e da reta tangente.

 

Exemplo 4

 

Seja 2 F ( t ) = ( t , t , t ). Determine a equação da reta tangente no ponto F(1).

 

Solução

F(1) = (1, 1, 1); ; assim, . A equação

da reta tangente em F(1) é:

 

ou seja,

 

Teorema 2. Sejam deriváveis em A. Então,

serão, também, deriváveis em A e

Além disso, se n = 3, então será, também, derivável em A e

 

 

Demonstração

 

Faremos a demonstração no caso n = 3. a) F = (F , F , F ); como f é uma função a valores reais 1 2 3

 

para todo t ∊ A.

 

De

resulta:

 

ou seja,

 

b)

 

Como

 

e

 

resulta

ou seja,

 

■

 

Exemplo 5

 

Seja : A → derivável e tal que constante. Prove

que

 

para todo t ∊ A. Interprete geometricamente no caso n = 2.

 

Solução

 

daí

logo, para todo t ∊ A,

 

Segue que, para todo t em A,

 

ou seja,

 

e como o produto escalar é comutativo

 

Portanto, para todo t ∊ A,

 

Assim, sendo || (t)|| constante, os vetores são ortogonais.

 

Interpretação geométrica no caso n = 2. Seja (t) = (F (t), F (t)); sendo || 1 2 (t)|| constante e igual a k(k > 0), a trajetória descrita por (F (t), F (t)) está 1 2 contida na circunferência de centro na origem e raio k; como é tangente

 

à trajetória, deve ser tangente à circunferência e deve, portanto, ser

ortogonal ao vetor de posição (t).

Exercícios 7.5

 

 

1. Calcule

 

2. Determine a equação da reta tangente à trajetória da função dada,

no ponto dado.

3. Seja F definida no intervalo I e com valores em . Suponha que

para todo t em I. Prove que existe uma constante k = (k 1 , k 2 , ..., k ) ∊ tal que F(t) = k para todo t em I. n

 

4. a Seja F : I → , I intervalo, derivável até a 2 ordem em I.

Suponha que exista um real λ tal que, para todo t em I,

. Prove que é constante em I.

 

5. a Suponha que seja derivável até a 2 ordem e que, para

todo t ≥ 0,

 

a) Prove que em [0, + ∞[.

 

b) Seja θ o ângulo entre . Conclua que .

 

6. a Seja definida em , com valores em , e derivável até a 2

ordem. Prove que se for constante em , então

 

em .

 

7. a Seja : I → , I intervalo, derivável até a 2 ordem. Suponha que

(t) forneça a posição, no instante t, de um ponto P que se move

no espaço. Definimos a velocidade (t) e a aceleração (t) de P,

no instante t, por: . Determine

(t) e (t) sendo:

 

8. Um ponto se move no espaço de modo que || (t)|| = k para todo t,

em que k > 0 é uma constante. Prove que para todo t.

Interprete.

 

9. Suponha || (t)|| ≠ 0 para todo t. Faça , em que v(t) = ||

(t)||. Prove que

 

10. Seja , em que a, b e w são constantes não

nulas. Mostre que

Sejam definidas e deriváveis no intervalo I e com valores

11.

em . Suponha que para todo . Prove que existe um

vetor tal que para todo t ∊ I.

 

12. Determine sabendo que

13. (Regra da cadeia.) Sejam

funções deriváveis, em que I e J são intervalos em . Suponha que, para todo t ∊ I, u(t) ε J. Prove que a função dada por

, é derivável e que

 

em que deve ser calculado em u = u(t).

 

14. Suponha

 

com a θ = θ ( t ) e ρ = ρ ( t ) deriváveis até a 2 ordem em um intervalo

I. Verifique que