4.7 Algumas Distribuições Importantes

Dizemos que a variável aleatória contínua X tem distribuição uniforme se sua função densidade de probabilidade for dada por

 

A variável aleatória contínua X tem distribuição exponencial se a sua função densidade de probabilidade for β > 0,

 

Já vimos que nesse caso 2 E ( X ) = β e Var ( X ) = β (veja exemplo da Seção 4.3).

A variável aleatória contínua X tem distribuição gama, com parâmetros α > 0 e β > 0, se a sua função densidade de probabilidade for

 

Observe que a distribuição exponencial é uma distribuição gama com α = 1.

 

Exemplo

Seja f a função densidade de probabilidade da distribuição gama.

a) Verifique que tal f é realmente uma função densidade de probabilidade.

b) Calcule E (X).

c) Calcule Var (X).

 

Solução

a) É claro que vamos ter que fazer uma mudança de variável de modo que

apareça a função gama (você concorda?). Eu acho até que você já sabe qual é a mudança! Então, vamos lá.

Fazendo teremos dx = βdu. Assim,

 

Pronto. É realmente uma função densidade de probabilidade.

b) Para

s tendendo a infinito, a primeira parcela do último membro tende a zero e, daí,

 

Conclusão: E (X) = αβ.

c) Lembrando que segue que precisamos

calcular apenas o valor da integral do 2 o membro. Temos

 

Integrando por partes, resulta:

 

Sendo o valor da primeira parcela do segundo membro igual a 0 e tendo em vista o item anterior, tem-se

Conclusão: 2 Var ( X ) = αβ .

 

 

As três distribuições que destacaremos a seguir desempenham papéis fundamentais na inferência estatística. São elas: distribuição 2 qui-quadrado ( χ ),

distribuição t de Student e distribuição F de Snedecor.

A variável aleatória contínua 2 X tem distribuição qui-quadrado ( χ ), com n graus de liberdade, se a sua função densidade de probabilidade é dada por

 

Uma distribuição qui-quadrado, com ν graus de liberdade, é usualmente representada por 2 χ (ν). Observe que a distribuição qui-quadrado é uma distribuição gama com α = ν/2 e β = 2; assim, E (X) = ν e Var (X) = 2ν. De onde surge essa distribuição? Consideremos uma população com distribuição normal padrão, ou seja, com distribuição N (0, 1). Retire, aleatoriamente, dessa população uma amostra x , x , …, x com v elementos e some os quadrados desses números 1 2 v

 

Retire outra amostra e calcule 2 2 χ , e assim por diante. Este χ é uma variável aleatória, e, teoricamente, poderá assumir qualquer valor positivo. Pois bem, prova-se que, sob determinadas condições, a função densidade de probabilidade dessa variável aleatória é a função f dada acima. Com essa função densidade de probabilidade, P (a ≤ X ≤ b) é a probabilidade de o valor 2 χ pertencer ao intervalo de extremos a e b.

Prova-se que, se Z e Y forem variáveis aleatórias independentes Z com distribuição normal 2 N (0, 1) e Y com distribuição χ (ν), então, a variável aleatória t dada por

tem a seguinte função densidade de probabilidade

 

 

Dizemos que uma variável aleatória tem distribuição t de Student, com n graus de liberdade, se a sua função densidade de probabilidade é dada pela função acima. Observe que tal f é uma função par. Faça você mesmo um esboço do gráfico dessa função.

Sejam 2 U e V variáveis aleatórias independentes com distribuições χ (ν 1 ) e

χ 2 (ν ), respectivamente. Prova-se que a variável aleatória tem a seguinte

2

função densidade de probabilidade:

 

Uma variável aleatória tem distribuição F de Snedecor, com graus de liberdade

ν e ν , se a sua função densidade de probabilidade é dada pela f acima. 1 2

Para encerrar a seção, observamos que existem tabelas para calcular

probabilidades que envolvem as distribuições normal, qui-quadrado, t de Student e F de Snedecor. Entretanto, como no meio estudantil o uso da calculadora HP-48G é muito comum, mostraremos no Apêndice B como utilizá-la em problemas que envolvem tais distribuições, bem como para outros cálculos comuns em estatística.

 

Exercícios 4.7

1. Verifique que a função densidade de probabilidade da distribuição t de a )

Student é realmente uma função densidade de probabilidade no caso ν = 3.

 

b) Mostre que E (t) = 0 e, para ν ≥ 3, O que

acontece com Var (t) para ν ≤ 2?

 

2. Mesmo exercício para a distribuição F de Snedecor no caso ν = ν = 1 2

2.

 

3. Uma variável aleatória X tem distribuição de Weibull se sua função

densidade de probabilidade é dada por

 

a) Verifique que tal f é realmente uma função densidade

de probabilidade.

 

b) Determine E (X) e Var (X).

 

4. Uma variável aleatória X tem distribuição de Rayleigh se sua função

densidade de probabilidade é dada por

 

a) Verifique que tal f é realmente uma função densidade

de probabilidade.

b) Determine E (X) e Var (X).

 

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