Um Curso de Cálculo, Volume 2
Capítulo 6
Capítulo 6 n Os Espaços ℝ
1. Seja = (2, a). Determine a, sabendo que o ângulo entre e
é obtuso e
2. Determine o valor de a para que os vetores = (a, – 2) e = (2,
a + 4) sejam paralelos.
3. Determine o valor de a para que os vetores = (5, a) e = (7, –
1) sejam perpendiculares.
4. Determine os valores de m e n para que os vetores = (m ,4, 1)
e = (5, 2, 2n + 1 sejam paralelos.
5. Determine o valor de a para que os vetores = (3, a a – 1) e
= (1,1 – a, 3) sejam perpendiculares.
6. Seja = (2, –3,1). Determine um vetor tal que e que
tenha a mesma direção e sentido contrário do vetor
7. Obtenha tal que =
8. Sejam e vetores tais que
9. Determine tal que
10. Determine
11. Determine as equações paramétricas da reta que passa pelo
ponto P = (7, –5, 0) e é simul
12. Determine as equações paramétricas da reta que passa pelo
ponto P = (0, –6, 8) e paralela à
13. Determine as equações paramétricas da reta que passa pelo
ponto A(9, –6, 2) e:
Classifique as afirmações abaixo em verdadeiras ou falsas.
14.
Justifique sua resposta.
a) Se os vetores = (2, x ,1) e = (–4, x, –1) são ortogonais, então x = 3
ou x –3.
b) Se
c) Se e têm a mesma norma, então são ortogonais.
15. Classifique as afirmações abaixo assinalando (?V?) para
verdadeiro ou (?F?) para falso. Justifi-que sua resposta.
a) O triângulo determinado pelos pontos, A(2, 0, –3), B(0, –3, –1) e C(5, –
2, –4) é um triângulo retângulo.
b) Existe um plano que contém os pontos A(1, 0, –1) B(0, 2, 3) C(–2, 1, 1)
e D(4, 2, 3).
c) O vetor = (7, –8, 2) é perpendicular, simultaneamente, aos vetores =
(1, 1, 1) e = (–2, 3, –1).
16. Determine a equação do plano α que contém os pontos A(7, 0,
–9) e B (1, 1, –1) e é perpendicular ao plano β:= 2x 2y + 2z – 16 = 0.
17. Determine as equações paramétricas da interseção dos planos.
a) x – y + 3z – 9 = 0 e x + 2y – 7z – 6 = 0.
b) 3x – y – 3z – 7 = 0 e x = 5.
18. Determine o ponto de interseção da reta
Solução
Substituindo as equações paramétricas de r na equação do plano, temos t = 1. Logo, o ponto de
interseção é dado por r(1) = (1, 5, 6).
19. Determine uma equação do plano paralelo ao eixo y que
contém a interseção dos planos 4x + 2y 3z = 4 e x – y + z = 0.
Solução
6x – z – 4 = 0.
20. Suponha que, para cada natural n, A é um subconjunto n
fechado de 2 ℝ . Seja B a reunião de todos os A e C a
n
interseção de todos os A . Pergunta-se: n
a) B é fechado?
b) C é fechado?
Justifique.