Um Curso de Cálculo, Volume 2
1.2 Funções Integráveis
Os teoremas que enunciaremos a seguir, e cujas demonstrações encontram-se no Apêndice D do Vol. 1, destacam as funções integráveis que vão interessar ao curso.
O teorema 1 conta-nos que toda função contínua em [a, b] é integrável em
[a, b] e, o Teorema 2, que toda função limitada em [a, b] e descontínua em apenas um número finito de pontos de [a, b] é integrável em [a, b].
Teorema 1. Se f for contínua em [a, b], então f será integrável em [a, b].
Teorema 2. Se f for limitada em [a, b] e descontínua em apenas um número nito de pontos de [a,
b], então f será integrável em [a, b].
Exemplo 1
f(x) = cos 3x é contínua em [–1, 5], logo integrável neste intervalo.
Exemplo 2
Verifique se
é integrável em [–1, 3].
Solução
f é limitada em [–1, 3], pois, para todo x em [–1, 3], 0 ≤ f(x) ≤ 2; além
disso, f é descontínua apenas em x = 1. Pelo teorema 2, f é integrável em
[–1, 3].
Exemplo 3
Verifique se
é integrável em [–1, 3].
Solução
Não, pois f não é limitada em [–1, 3].
Exercícios 1.2
1. A função dada é integrável? Justifique.
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