17.5 Coeficiente de Determinação. Correlação

c 2 ) Determine o coeficiente de determinação R .

 

2. A tabela a seguir apresenta as vendas semanais (em toneladas)

de arroz, das últimas 6 semanas, de um supermercado. (Na linha dos x, o –6 estará representando seis semanas atrás, o –5, cinco semanas atrás etc.)

 

x –6 –5 –4 –3 –2 –1

 

y 2 2,4 1,9 1,8 2,1 2,2

 

(Pela tabela, há seis semanas foram vendidas 2 toneladas de arroz; há cinco semanas, 2,4 toneladas etc.)

 

a) Determine a reta dos mínimos quadrados.

 

b) Estime a venda para a semana atual (x = 0).

 

c 2 ) Determine o coeficiente de determinação R .

 

17.5 Coeficiente de Determinação. Correlação

 

Consideremos os pontos (x , y ), i = 1, 2, ..., n. Seja ŷ = m x + q a reta dos i i

mínimos quadrados desses pontos. Nosso objetivo a seguir é mostrar que

Temos, para k = 1, 2, ..., n,

 

 

( 2 2 y – y ) = ( y – ŷ + ŷ – y )

k k k k

 

daí

 

( 2 2 2 y – y ) = ( y – ŷ ) + 2( y – ŷ ) ( ŷ – y ) + ( ŷ – y ) .

k k k k k k k

 

Para concluir a veracidade da relação acima, basta, então, mostrar que

 

De ŷ – y = m (x – x) e de y – ŷ = y – y – (ŷ – y), segue que a k k k k k k relação acima é equivalente a

 

A seguir, vamos mostrar que essa última relação realmente se verifica.

Vimos no final da seção anterior que Ŷ = mX é a reta dos mínimos quadrados para os pontos (X , Y ), em que X = x – x e Y = y – y, para k k k k k k k = 1, 2, 3, ..., n. Assim, m é a solução LSQ do sistema

 

em que

Sabemos que, se m é a solução LSQ de S, deveremos ter

 

 

que é equivalente a

 

De acordo?

Fica provado assim o seguinte importante resultado:

 

Se ŷ = mx + q é a reta dos mínimos quadrados dos pontos (x , y ), k = 1, 2, 3, ..., n, então k k

tem-se

 

Desta segue que

 

sendo que a igualdade só ocorrerá se a soma dos quadrados dos erros E = k y – ŷ for igual a zero, ou seja, se y = ŷ , para k = 1, 2, ..., n, e, portanto, k k k k se os pontos (x , y ), k = 1, 2, ..., n, forem colineares. k k

De nição (de coe ciente de determinação). Sendo ŷ = mx + q a reta dos mínimos

quadrados dos pontos ( 2 x , y ), k = 1, 2, 3, ..., n , de nimos o coe ciente de determinação R

k k

dessa reta por

 

Do que vimos anteriormente, resulta 0 ≤ 2 R ≤ 1, e, quanto mais

próximo de 1 estiver 2 R , mais próximo de zero estará a soma dos quadrados dos erros E . Portanto, o ajuste da reta dos mínimos quadrados k

aos pontos (x , y ), k = 1, 2, ..., n, será tanto melhor quanto mais próximo k k

de 2 1 estiver R .

De ŷ – y = m (x – x) segue, para k = 1, 2, ..., n, ŷ – y = m (x – x). Desse k

modo, o coeficiente de determinação poderá ser colocado na seguinte forma:

 

Lembrando que

resulta

 

 

De nição (de correlação). O número

 

denomina-se correlação entre os números x e y . k k

 

Das definições acima, segue que o coeficiente de determinação é o

quadrado da 2 correlação . De R ≤ 1, resulta –1 ≤ R ≤ 1. Lembrando da definição de cosseno de ângulo de dois vetores, a correlação entre os números x e y , k = 1, 2, ..., n, nada mais é do que o cosseno do ângulo k k

formado pelos vetores de componentes