Um Curso de Cálculo, Volume 2
7.2 Função de uma Variável Real a Valores em ℝ3
7.2 Função de uma Variável Real a Valores em
Uma função de uma variável real a valores em é uma função , em que A é um subconjunto de . Uma tal função associa, a cada t ∊ A, um único vetor F(t) ∊ . A imagem ou trajetória de F é o lugar geométrico, em
, descrito por F(t), quando t varia em D . F
Exemplo 1
Desenhe a imagem de F(t) = (t, t, t), t ≥ 0.
Solução
A imagem de F é a semirreta de equações paramétricas
Exemplo 2
Desenhe a imagem de F(t) = (cos t, sen t, 1).
Solução
A imagem de F é uma circunferência situada no plano z = 1, com centro
no eixo z e raio 1.
Exemplo 3
Desenhe a imagem de F(t) = (cos t, sen t, bt), t ≥ 0, em que b > 0 é um
real fixo.
Solução
A imagem de F é uma hélice circular reta. Quando t varia em [0, + ∞[, a
projeção de F(t) sobre o plano xy, descreve a circunferência x = cos t, y =
sen t, ao passo que a projeção sobre o eixo z descreve um movimento
uniforme, com equação z = bt.
Muitas vezes será necessário considerar funções de uma variável real a
valores em , n > 3. Os próximos exemplos exibem funções de uma
variável real a valores em R 4 5 e em R , respectivamente.
Exemplo 4
F 2 2 ( t ) = ( t , t , 1, t ), t ∊ , é uma função de uma variável real a valores
em .
Exemplo 5
F 2 3 ( t ) = (cos t , sen t , t , t , t ), t ∊ , é uma função de uma variável real a
valores em .
Exercícios 7.2
1. Desenhe a imagem:
2.
Seja F dada por .