1.3 Módulo de um Número Real

b) (Regra dos sinais)

(–x) y = –xy; x (–y) = –xy; (–x) (–y) = xy.

c 2 ) x ≥ 0.

d) 1 > 0.

e –1 ) x > 0 ⇔ x > 0.

f) (Anulamento do produto)

xy = 0 ⇔ x = 0 ou y = 0.

g 2 2 ) x = y ⇔ x = y ou x = –y

h 2 2 ) Se x ≥ 0 e y ≥ 0, x = y ⇔ x = y.

 

1.3 Módulo de um Número Real

Seja x um número real; definimos o módulo (ou valor absoluto) de x por:

 

De acordo com a definição acima, para todo x, isto é, o módulo de um

número real é sempre positivo.

Exemplo 1

a) |5| = 5.

b) |–3| = –(–3) = 3.

 

Exemplo 2

Mostre que, para todo x real,

| 2 2 x | = x .

Solução

 

Assim, para todo 2 2 x real, | x | = x .

Lembrando que indica a raiz quadrada positiva de a (a ≥ 0),

segue do exemplo anterior que, para todo x real,

 

Exemplo 3

Suponha a > 0. Resolva a equação

| x | = a.

Solução

Como | x | ≥ 0 e a > 0,

| 2 2 x | = a ⇔ | x | = a .

Mas | 2 2 x | = x , assim

| 2 2 x | = a ⇔ x = a ⇔ (x – a) (x + a) = 0 ⇔ x = a ou x = –a.

Portanto,

| x | = a ⇔ x = a ou x = –a.

 

Exemplo 4

Resolva a equação | 2x + 1 | = 3.

Solução

 

Assim,

| 2x + 1 | = 3 ⇔ x = 1 ou x = –2.

 

Sejam x e y dois números reais quaisquer. Definimos a distância de x a y

por Sendo P e Q os pontos do eixo 0x de abscissas x e y, e u o segmento de extremidades 0 e 1, | x – y | é a medida, com unidade u, do segmento PQ.

 

De segue que é a distância de x a 0.

Seja r > 0; o próximo exemplo nos diz que a distância de x a 0 é menor

que r se, e somente se, x estiver compreendido entre –r e r.

Exemplo 5

Suponha r > 0. Mostre que

| x | < r ⇔ –r < x < r.

Solução

| 2 2 2 2 x | < r ⇔ | x | < r ⇔ x < r

mas,

x 2 2 < r ⇔ (x – r)(x + r) < 0 ⇔ –r < x < r.

Portanto,

| x | < r ⇔ –r < x < r.

 

Exemplo 6

Resolva a inequação | x | < 3.

Solução

Pelo Exercício 5,

| x | < 3 ⇔ –3 < x < 3.

 

Exemplo 7

Elimine o módulo em

| x – p | < r (r > 0).

Solução

| x – p | < r ⇔ –r < x – p < r ⇔ p – r < x < p + r. 2. Resolva as equações.

Assim,

| x – p | < r ⇔ p – r < x < p + r.

(A distância de x a p é estritamente menor que r se, e somente se, x

estiver estritamente compreendido entre p – r e p + r.)

 

Exemplo 8

Mostre que quaisquer que sejam os reais x e y

| xy | = | x || y |.

(O módulo de um produto é igual ao produto dos módulos dos

fatores.)

Solução

 

Como | xy | ≥ 0 e | x || y | ≥ 0 resulta

| xy | = | x || y |.

Antes de passarmos ao próximo exemplo, observamos que, para todo

x real,

x ≤ | x | e –x ≤ | x |. (Verifique.)

 

Exemplo 9

(Desigualdade triangular.) Quaisquer que sejam os reais x e y

 

(O módulo de uma soma é menor ou igual à soma dos módulos das

parcelas.)

Solução

 

Assim, quaisquer que sejam os reais x e y.

 

Exemplo 10

Elimine o módulo em | x – 1 | + | x – 2 |.

Solução

Conclusão

 

Exercícios 1.3

 

1. Elimine o módulo.

 

3. Resolva as inequações.

4. Suponha r > 0. Prove:

 

5. Elimine o módulo.