9.6 Máximos e Mínimos

14. x 3x y = e − e

 

15. 4 2 f ( x ) = x − 2 x

 

9.6 Máximos e Mínimos

 

Definição 1. Sejam f uma função, A, D e p ∈ A. Dizemos que f(p) é o valor máximo de f em A ou f

que p um ponto de máximo de f em A se f(x) ≤ f(p) para todo x em A. Se f(x) ≥ f(p) para todo x em

A, dizemos então que f(p) é o valor mínimo de f em A ou que p é um ponto de mínimo de f em A.

Definição 2. Sejam f uma função e p ∈ D . Dizemos que f(p) é o valor máximo global de f ou que f

 

p é um ponto de máximo global de f se, para todo x em D f , f(x) ≤ f(p). Se, para todo x em D f , f(x) ≥

f(p), diremos então que f(p) é o valor mínimo global de f ou que p é um ponto de mínimo global de f.

 

Definição 3. Sejam f uma função e p ∈ D . Dizemos que p é o ponto de máximo local de f se f

existir r > 0 tal que

f(x) ≤ f (p)

para todo x em ] p − r, p + r[ ⋂ D f . Por outro lado, dizemos que p é o ponto de mínimo local de f se

existir r > 0 tal que

f(x) ≥ f(p)

para todo x em ] p − r, p + r[ ⋂ D . f

Uma boa maneira de se determinar os pontos de máximo e de mínimo de

uma função f é estudá-la com relação a crescimento e decrescimento. Sejam a < c < b; se f for crescente em ] a, c] e decrescente em [c, b[, então c será um ponto de máximo local de f; se f for decrescente em ] a, c] e crescente em [c, b[, então c será um ponto de mínimo local de f.

Exemplo 1

Seja 3 2 f ( x ) = x − 3 x + 3.

a) Estude f com relação a máximos e mínimos.

b) Determine os valores máximo e mínimo de f em [−2, 3]. Em que

pontos estes valores são atingidos?

Solução

ponto de máximo local: 0

ponto de mínimo local: 2

Como segue

que f não assume nem valor máximo global, nem valor mínimo global.

 

Exemplo 2

Determine dois números positivos cuja soma seja 4 e tal que a soma do

cubo do menor com o quadrado do maior seja mínima.

Solução

Indiquemos por x o número menor (0 ≤ x ≤ 2); assim o maior é 4 − x.

Seja

S 3 2 ( x ) = x + (4 − x ) , 0 ≤ x ≤ 2.

Devemos determinar x que torna mínimo o valor de S. Temos

S 2 ′( x ) = 3 x + 2x − 8

 

Assim, torna mínimo o valor de S.

Conclusão. Os números procurados são

 

Exemplo 3

Pede-se construir um cilindro circular reto de área total S dada e cujo

volume seja máximo.

Solução

Precisamos determinar r (raio da base) e h (altura).

Temos

Assim,

S 2 = 2π r + 2πrh

daí,

 

Podemos, então, exprimir o volume V em função de r.

 

ou

 

Devemos determinar r que torna V máximo.

 

Observação. A condição é para deixar r > 0 e h > 0.

Assim, torna V máximo.

 

Conclusão. são, respectivamente, o raio e a altura do

cilindro de volume máximo.

 

Exercícios 9.6

 

1. Estude a função dada com relação a máximos e mínimos locais e globais.

 

b –2x ) f ( x ) = xe

c x –3x ) f ( x ) = e e

d 3 2 ) f ( x ) = 2 x − 9 x + 12x + 3

e 2 ) f ( x ) = x + 3x + 2

f –t ) x ( t ) = te

g 4 3 2 ) f ( x ) = x − 4 x + 4 x + 2

h) f(x) = sen x + cos x, x ∈ [0, π]

i 3 2 ) y ( t ) = − t + 3 t + 4, t ∈ [−1, 3]

 

2. Determine as dimensões do retângulo de área máxima e cujo perímetro 2p

é dado.

 

3. Determine o número real positivo cuja diferença entre ele e seu quadrado

seja máxima.

 

4. Determine o número real positivo cuja soma com o inverso de seu

quadrado seja mínima.

 

5. Determine a altura do cilindro circular reto, de volume máximo, inscrito na

esfera de raio R dado.

6. Determine a altura do cone circular reto, de volume máximo, inscrito na

esfera de raio R dado.

 

7. Determine a altura do cone circular reto, de volume máximo, e com

geratriz a dada.

 

8. 2 Considere a curva y = 1 − x , 0 ≤ x ≤ 1. Traçar uma tangente à curva tal

que a área do triângulo que ela forma com os eixos coordenados seja mínima.

 

9. Determine o retângulo de área máxima e lados paralelos aos eixos

coordenados, inscrito na elipse 4 2 2 x + y = 1.

 

10. 3 Deseja-se construir uma caixa, de forma cilíndrica, de 1 m de volume.

Nas laterais e fundo será utilizado material que custa R$ 10 o metro quadrado e na tampa material de R$ 20 o metro quadrado. Determine as dimensões da caixa que minimizem o custo do material empregado.

 

11. r é uma reta que passa pelo ponto (1, 2) e intercepta os eixos nos pontos A

= (a, 0) e B = (0, b), com a > 0 e b > 0. Determine r de modo que a distância de A a B seja a menor possível.

 

12. Certa pessoa que se encontra em A, para atingir C, utilizará na travessia do

rio (de 100 m de largura) um barco com velocidade máxima de 10 km/h;

de B a C utilizará uma bicicleta com velocidade máxima de 15 km/h. Determine B para que o tempo gasto no percurso seja o menor possível.

 

13. 2 Qual o ponto P da curva y = x que se encontra mais próximo de (3, 0)?

Seja P = (a, b) tal ponto; mostre que a reta que passa por (3, 0) e (a, b) é normal à curva em (a, b).

 

14. Encontre o ponto da curva que está mais próximo da

origem.

 

15. Duas partículas P e Q movem-se, respectivamente, sobre os eixos 0x e 0y.

A função de posição de P é e a de Q, Determine

o instante em que a distância entre P e Q seja a menor possível.

 

16. Seja g definida e positiva no intervalo I. Seja p ∈ I. Prove: p será ponto de

máximo (ou de mínimo) de em I, se e somente se p for ponto de máximo (ou de mínimo) de g em I.

17. Um sólido será construído acoplando-se a um cilindro circular reto, de

altura h e raio r, uma semiesfera de raio r. Deseja-se que a área da superfície do sólido seja 5π. Determine r e h para que o volume seja máximo.

 

18. A Cia. α Ltda. produz determinado produto e vende-o a um preço unitário

de R$ 13. Estima-se que o custo total c para produzir e vender q unidades é dado por 3 2 c = q − 3 q + 4q + 2. Supondo que toda a produção seja absorvida pelo mercado consumidor, que quantidade deverá ser produzida para se ter lucro máximo?

 

19. Determinado produto é produzido e vendido a um preço unitário p. O

preço de venda não é constante, mas varia em função da quantidade q demandada pelo mercado, de acordo com a equação

Admita que, para produzir e vender uma

unidade do produto, a empresa gasta em média R$ 3,50. Que quantidade deverá ser produzida para que o lucro seja máximo?

 

20. Do ponto A, situado numa das margens de um rio, de 100 m de largura,

deve-se levar energia elétrica ao ponto C situado na outra margem do rio.

O fio a ser utilizado na água custa R$ 5 o metro, e o que será utilizado fora, R$ 3 o metro. Como deverá ser feita a ligação para que o gasto com os fios seja o menor possível? (Suponha as margens retilíneas e paralelas.)

 

21. Sejam P = (0, a) e Q = (b, c), em que a, b e c são números reais dados e

estritamente positivos. Seja M = (x, 0), com 0 ≤ x ≤ b.

 

a) Determine x para que o perímetro do triângulo PMQ seja mínimo.

b) Conclua que o perímetro será mínimo para α = β.

 

22. 3 Determine M no gráfico de y = x , 0 ≤ x ≤ 1, de modo que a área do

triângulo de vértices (0, 0), (1, 1) e M seja máxima.

23. A Cia. γ Ltda. produz um determinado produto e vende-o com um lucro

total dado por 3 2 L ( q ) = − q + 12 q + 60q − 4, em que q representa a quantidade produzida. Determine o lucro máximo e a produção que maximiza o lucro. Esboce o gráfico desta função.

 

24. 2 Determine uma reta tangente ao gráfico de y = 1 − x , de modo que a

distância da origem a ela seja a menor possível.

 

25. 2 Determine o ponto da parábola y = 1 − x que se encontra mais próximo

da origem.

26. 2 2 Seja ( x , y ), x > 0 e y > 0, um ponto da elipse x + 4 y = 1. Seja T 0 0 0 0

a reta tangente à elipse no ponto (x , y ). 0 0

a) Verifique que T tem por equação

x x + 4 y y = 1. 0 0

b) Determine x de modo que a área do triângulo determinado por T e 0

pelos eixos coordenados seja mínima.

 

27. Uma partícula P desloca-se sobre o eixo x com velocidade constante e

igual a 1. Outra partícula 2 Q desloca-se sobre a parábola y = 1 − x de

modo que sua projeção sobre o eixo x descreve um movimento com velocidade constante e igual a 2. No instante t = 0, as partículas P e Q encontram-se, respectivamente, nas posições (0, 0) e (0, 1). Determine o instante em que as partículas encontram-se mais próximas.

 

28. Dado o triângulo retângulo de catetos 3 e 4, determine o retângulo de

maior área nele inscrito, de modo que um dos lados esteja contido na hipotenusa.

 

29. 2 Determine o ponto da parábola y = x que se encontra mais próximo da

reta y = x − 2.

 

30. Dois vértices de um retângulo R estão sobre o eixo x e os outros dois sobre

o gráfico de Considere o cilindro que se obtém girando

o retângulo R em torno do eixo x. Determine o retângulo R de modo que o volume do cilindro seja o maior possível.

31. Considere duas retas paralelas r e s. Sejam A e C dois pontos distintos de r

e B um ponto de s.

 

Determine Q na reta s de modo que a soma das áreas dos triângulos APC e QPB seja mínima.

 

32. Considere o triângulo isósceles ABC, com AB = BC. Seja H o ponto médio

de AC. Determine P no segmento HB de modo que a soma das distâncias de P aos pontos A, B e C seja a menor possível.

 

33. (Lei de refração de Snellius.) Considere uma reta r e dois pontos P e Q

localizados em semiplanos opostos.