10 Primitivas

10.1 Relação entre Funções com Derivadas Iguais

Já sabemos que a derivada de uma função constante é zero. Entretanto, uma função pode ter derivada zero em todos os pontos de seu domínio e não ser constante; por exemplo

 

é tal que f′(x) = 0 em todo x no seu domínio, mas f não é constante. O próximo teorema, que é uma consequência do TVM, conta-nos que se f tiver derivada zero em todos os pontos de um intervalo, então f será constante neste intervalo.

 

Teorema. Seja f contínua no intervalo I. Se f′(x) = 0 em todo x interior a I, então existirá uma

constante k tal que f(x) = k para todo x em I.

Demonstração

 

Seja x um ponto fixo em I. Vamos provar que, para todo x em I, f(x) = f(x ), 0 0 o que significará que f é constante em I. Para todo x em I, x ≠ x , existe, pelo 0 TVM, um pertencente ao intervalo aberto de extremos x e x tal que 0

 

(Observe que de acordo com a hipótese, f é contínua no intervalo fechado de extremos x e x e derivável no intervalo aberto de mesmos extremos.) 0

Como é interior a I, pela hipótese , logo

f(x) − f(x ) = 0 ou f(x) = f(x ) 0 0

para todo x em I. Tomando-se k = f(x ), resulta o teorema. 0

■

Como consequência deste teorema, provaremos que se duas funções

tiverem derivadas iguais num intervalo, então, neste intervalo, elas diferirão por uma constante.

 

Corolário. Sejam f e g contínuas no intervalo I. Se f ′(x) = g′(x) em todo x interior a I, então existirá

uma constante k tal que

g (x) = f(x) + k

para todo x em I.

 

Demonstração A função h (x) = g (x) − f(x) é contínua em I e para todo x interior a I, h′(x) = g′ (x) − f′(x) = 0. Pelo teorema anterior, existe uma constante k tal que

g (x) − f(x) = k ou g (x) = f(x) + k

para todo x em I.

■

Observamos que se f e g satisfizerem as hipóteses do corolário e se f(x ) = 0

g (x ) para algum x ∈ I, então f(x) = g (x) para todo x ∈ I. De fato, pelo 0 0

corolário, existe k tal que

g (x) = f(x) + k

para todo x em I. Em particular, g (x ) = f(x ) + k, logo k = 0. Portanto, g (x) = 0 0 f(x) em I.

Já vimos que se x x f ( x ) = e , x ∈ ℝ , então, f ′( x ) = e , ou seja, a função f(x) =

e x goza da seguinte propriedade: a sua derivada é ela própria. O próximo exemplo nos mostra que as únicas funções que gozam desta propriedade são as funções da forma x f ( x ) = ke , em que k é uma constante.

Exemplo 1

Seja f definida e derivável em ℝ e tal que, para todo x, f′(x) = f(x). Prove

que existe uma constante x k tal que, para todo x , tem-se f ( x ) = ke .

Solução

A ideia para a prova é considerar o quociente e mostrar que a sua

derivada é zero.

Temos

Da hipótese f′(x) = f(x) segue

 

para todo x em ℝ. Pelo teorema 1, existe uma constante k tal que, para

todo x,

 

ou seja,

f x ( x ) = ke .

O exemplo acima nos diz que as soluções da equação diferencial

são as funções da forma x y = ke , k constante, isto é,

 

Observe: y = f(x) é solução da equação diferencial se e somente se a

derivada de f for ela própria.

Exemplo 2

Determine y = f(x), x ∈ ℝ, tal que

Solução

 

Assim, a x f procurada é da forma f ( x ) = ke , com k constante. A condição

f x (0) = 2 nos permite determinar a constante k . De fato, de f ( x ) = ke

segue f(0) = k e, portanto, k = 2. A função que satisfaz o problema dado

é, então, x x f ( x ) = 2 e . Ou seja, y = 2 e .

 

Consideremos, agora, a função αx αx f ( x ) = e , α constante. Temos f ′( x ) = α e ,

ou seja, f′(x) = αf(x). Raciocinando como no Exemplo 1, prova-se (veja Exercício 1) que as únicas funções que satisfazem a equação f′(x) = αf(x), x ∈ ℝ αx e α constante, são as funções da forma f ( x ) = ke , k constante. Ou seja, sendo α constante, tem-se

 

ou

f αx ′( x ) = αf ( x ) ⇔ f ( x ) = ke , k constante.

Exemplo 3

Determine a função y = y (x), x ∈ ℝ, que satisfaz as condições

 

Solução

Da condição 3x y (0) = −1, resulta k = −1. A função procurada é y = − e , x

∈ ℝ.

 

Exemplo 4

Determine uma função y = f(x), definida num intervalo aberto I, com 1 ∈

I, tal que f(1) = 1 e, para todo x em I,

 

Solução

Devemos ter, para todo x em I,

f′(x) = xf(x).

Como a função f deve ser derivável em I, resulta que f deve ser, também,

contínua em I. Então, a condição f(1) = 1 e o teorema da conservação do

sinal garantem-nos que, para x próximo de 1, devemos ter f(x) > 0.

Vamos, então, procurar f, definida num intervalo aberto I, e que, neste

intervalo, satisfaça a condição f(x) > 0. Temos, então,

 

Lembrando que e que , resulta

para todo x em I. Como as derivadas das funções ln f(x) e são iguais

em I, do corolário acima resulta que existe uma constante k tal que, para

todo x em I,

 

Da condição f(1) = 1, segue

 

e, portanto, . Assim, a função

 

satisfaz as condições dadas. (Observe que esta é uma função satisfazendo

as condições dadas. Será que existe outra? Como veremos no Cap. 13,

esta é a única função definida em ℝ e satisfazendo as condições dadas.)

 

Exemplo 5

Determine uma função y = f(x), definida num intervalo aberto I, com 1 ∈

I, tal que f(1) = −1 e, para todo x em I,

 

Solução

Devemos ter, para todo x em I,

f 2 ′( x ) = 2[ f ( x )] .

A condição f(1) = −1 permite-nos supor f(x) < 0 em I. Temos, então,

[ −2 f ( x )] f′(x) = 2, x ∈ I.

Lembrando que {−[ −1 −2 f ( x )] }′ = [ f ( x )] f′(x) e que (2x)′ = 2, resulta

{−[ −1 f ( x )] }′ = (2x)′, x ∈ I.

Pelo corolário, existe uma constante k tal que, para todo x ∈ I,

−[ −1 f ( x )] = 2x + k.

Da condição f(1) = −1, segue k = −1. A função

 

satisfaz as condições dadas. (A condição é para garantir que 1

pertença ao domínio de f.)

 

Exercícios 10.1

 

1. Seja f : ℝ → ℝ, derivável e tal que, para todo x, f′(x) = αf(x), α constante

não nula. Prove que existe uma constante k, tal que, para todo x, f(x) = ke αx .

 

2. Determine y = f(x), x ∈ ℝ, tal que

f′(x) = 2f(x) e f(0) = 1.

 

(Sugestão: Utilize o Exercício 1.)

 

3. Uma partícula desloca-se sobre o eixo 0x, de modo que em cada instante t

a velocidade é o dobro da posição x = x(t). Sabe-se que x (0) = 1. Determine a posição da partícula no instante t.

 

4. A função y = f(x), x ∈ ℝ, é tal que f(0) = 1 e f′(x) = −2f(x) para todo x.

Esboce o gráfico de f.

 

5. a Seja y = f ( x ), x ∈ ℝ , derivável até a 2 ordem e tal que, para todo x, f″(x)

+ f(x) = 0. Seja g dada por g (x) = f′(x) sen x − f(x) cos x. Prove que g é constante.

6. a Seja f : ℝ → ℝ derivável até a 2 ordem e tal que, para todo x, f″(x) + f(x)

= 0. Prove que existe uma constante A tal que

 

para todo x em ]0, π[. Conclua que exista outra constante B tal que, para todo x em ]0, π[, f(x) = A cos x + B sen x.

 

(Sugestão: Utilize o Exercício 6.)

 

7. a Seja f : ℝ → ℝ derivável até a 2 ordem e tal que, para todo x, f″(x) − f(x)

= 0.

a x ) Prove que g ( x ) = e [f′(x) − f(x)], x ∈ ℝ, é constante.

b) Prove que existe uma constante A tal que, para todo x,

.

 

c −x ) Conclua de ( b ) que existe uma outra constante B tal que f ( x ) = Ae +

Be x , para todo x.

8. Sejam f e g duas funções definidas e deriváveis em ℝ. Suponha que f(0) =

0, g (0) = 1 e que para todo x

f′(x) = g (x) e g′(x) = −f(x).

a) Mostre que, para todo x,

( 2 2 f ( x ) − sen x ) + ( g ( x ) − cos x ) = 0.

b) Conclua de (a) que f(x) = sen x e g (x) = cos x.

 

9. Utilizando o Exercício 1, determine a única função y = y(x), x ∈ ℝ, que

satisfaça as condições dadas.

a)

b)

c)

d)

 

10. Determine a função cujo gráfico passe pelo ponto (0, 1) e tal que a reta

tangente no ponto de abscissa x intercepte o eixo 0x no ponto de abscissa x + 1.

 

11. Determine uma função y = f(x), definida num intervalo aberto,

satisfazendo as condições dadas

a)

b)

 

12. a Seja f : ℝ → ℝ derivável até a 2 ordem e tal que, para todo x,

f″(x) = −f(x).

a) Mostre que, para todo x,

 

b) Conclua que existe uma constante E tal que, para todo x,

[ 2 f ′( x )] + [ f ( x )] = E.

 

13. Sejam f(t), g (t) e h (t) funções deriváveis em ℝ e tais que, para todo t,

 

Suponha que f(0) = g (0) = h (0) = 1. Prove que, para todo t,

[ 2 2 2 f ( t )] + [ g ( t )] + [ h ( t )] = 3

 

14. Sejam f(t) e g (t) funções deriváveis em ℝ e tais que, para todo t,